Question

（2007•長沙）如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，O為直角邊BC上一點，以O為圓心，OC為半徑的圓恰好與斜邊AB相切于點D，與BC交于另一點E．
（1）求證：△AOC≌△AOD；
（2）若BE=1，BD=3，求⊙O的半徑及圖中陰影部分的面積S．

Answer 1

【答案】分析：（1）要求證△AOC≌△AOD，已經滿足的條件是OC=OD，AO=AO，根據HL定理就可以證出結論．
（2）求中陰影部分的面積，可以轉化為△ABC的面積減去半圓的面積．
解答：（1）證明：∵AB切⊙O于D，
∴OD⊥AB，
∵Rt△ABC中，∠C=90°，
在Rt△AOC和Rt△AOD中，

∴Rt△AOC≌Rt△AOD（HL）．

（2）解：設半徑為r，在Rt△ODB中，
r²+3²=（r+1）²，解得r=4；
由（1）有AC=AD，AB=AD+DB=AC+DB=AC+3，BC=BE+2r=1+8=9，
在直角三角形ABC中，
根據勾股定理得：AC²+9²=（AC+3）²，解得AC=12，
∴S=AC•BC-πr²=×12×9-π×4²=54-8π．
點評：本題主要考查了三角形全等的判定方法；注意：不規則圖形的面積可以轉化為規則圖形的面積的差的問題來解決．