Question

王老師要求學生進行編題．解題訓練，其中小聰同學編的練習題是：
設k=3，方程x²-3x+k=0的兩個實數根是x₁，x₂，求

x2

x1

+

x1

x2

的值．
小明同學對這道題的解答過程是：
解：∵k=3，∴已知方程是x²-3x+3=0，
又∵x₁+x₂=3，x₁•x₂=3，
∴

x2

x1

+

x1

x2

=

x 2 2 + x 2 1

x1•x2

=

(x1+x2)2-2x1x2

x1•x2

=

32-2×3

3

=

9-6

3

=1
即

x2

x1

+

x1

x2

=1．
（1）請你針對以上的練習題和解答的正誤作出判斷，再簡述理由；
（2）請你只對小聰同學所編的練習題中的k另取一個適當的正整數，其他條件不變，改求

x1+x2

x1•x2

的值．

Answer 1

分析：（1）首先要判斷方程的兩根是否存在，即△≥0是否成立；
（2）取一個使△≥0的k的值后，根據

x2

x1

+

x1

x2

=

(x2+x1)2-2x1x2

x1x2

，代入求值．

解答：解：（1）錯誤；當k=3時，方程x²-3x+k=0即化為方程x²-3x+3=0，
△=（-3）²-4×1×3=-3＜0，故方程無實根．

（2）要使方程x²-3x+k=0有兩個實數根，
則△=（-3）²-4k≥0，即k≤

9

4

，故可取k=2，
則原方程變為x²-3x+2=0，
∵x₁+x₂=3，x₁•x₂=2，

x2

x1

+

x1

x2

=

(x2+x1)2-2x1x2

x1x2

=

32-2×2

2

=

5

2

．

點評：此類題目是中學階段常規題目，解答時一定要先根據判別式△判斷方程根的情況，再根據根與系數的關系解答，不能盲目計算．