Question

如圖，△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分線相交于O，MN過點O且與BC平行，△ABC的周長為20，△AMN的周長為12，則BC的長為（　　）

A．8

B．4

C．32

D．16

Answer 1

分析：由BO為角平分線，得到一對角相等，再由MN平行于BC，利用兩直線平行內錯角相等，得到一對角相等，等量代換可得出∠MBO=∠MOB，利用等角對等邊得到MO=MB，同理得到NO=NC，而三角形ABC的周長等于三邊相加，即AB+BC+AC，其中AB=AM+MB，AC=AN+NC，等量代換后可得出三角形ABC的周長等于三角形AMN的周長與BC的和，即BC等于兩三角形的周長之差，將兩三角形的周長代入，即可求出BC的長．

解答：解：∵OB平分∠MBC，
∴∠MBO=∠OBC，
又MN∥BC，
∴∠MOB=∠OBC，
∴∠MOB=∠MBO，
∴MB=MO，同理可得∠NOC=∠NCO，
∴NO=NC，
∴（AB+AC+BC）-（AM+AN+MN）
=（AM+MB+AN+NC+BC）-（AM+AN+MN）
=（AM+MO+AN+NO+BC）-（AM+AN+MN）
=（AM+AN+MN+BC）-（AM+AN+MN）
=BC，
又∵△ABC的周長為20，△AMN的周長為12，即AB+AC+BC=20，AM+AN+MN=12，
則BC=20-12=8．
故選A

點評：此題考查了等腰三角形的判定與性質，以及平行線的性質，利用了轉化及等量代換的思想，熟練掌握判定與性質是解本題的關鍵．