Question

【題目】如圖一，點在線段上，圖中有三條線段、和，若其中一條線段的長度是另外一條線段長度的倍，則稱點是線段的“巧點”．

（1）填空：線段的中點 這條線段的巧點（填“是”或“不是”或“不確定是”）

（問題解決）

（2）如圖二，點和在數軸上表示的數分別是和，點是線段的巧點，求點在數軸上表示的數。

（應用拓展）

（3）在（2）的條件下，動點從點處，以每秒個單位的速度沿向點勻速運動，同時動點從點出發，以每秒個單位的速度沿向點勻速運動，當其中一點到達中點時，兩個點運動同時停止，當、、三點中，其中一點恰好是另外兩點為端點的線段的巧點時，直接寫出運動時間的所有可能值．

Answer 1

【答案】（1）是；（2）10或0或20；(3) ；t=6；；t=12；；．

【解析】

（1）根據新定義，結合中點把原線段分成兩短段，滿足原線段是短線段的2倍關系，進行判斷即可；

（2）由題意設C點表示的數為x，再根據新定義列出合適的方程即可；

（3）根據題意先用t的代數式表示出線段AP，AQ，PQ，再根據新定義列出方程，得出合適的解即可求出t的值．

解：（1）因原線段是中點分成的短線段的2倍，所以線段的中點是這條線段的巧點，

故答案為：是；

（2）設C點表示的數為x，則AC=x+20，BC=40-x，AB=40+20=60，

根據“巧點”的定義可知：

①當AB=2AC時，有60=2（x+20），

解得，x=10；

②當BC=2AC時，有40-x=2（x+20），

解得，x=0；

③當AC=2BC時，有x+20=2（40-x），

解得，x=20．

綜上，C點表示的數為10或0或20；

（3）由題意得，

（i）、若0≤t≤10時，點P為AQ的“巧點”，有

①當AQ=2AP時，60-4t=2×2t，

解得，，

②當PQ=2AP時，60-6t=2×2t，

解得，t=6；

③當AP=2PQ時，2t=2（60-6t），

解得，；

綜上，運動時間的所有可能值有；t=6；；

（ii）、若10＜t≤15時，點Q為AP的“巧點”，有

①當AP=2AQ時，2t=2×（60-4t），

解得，t=12；

②當PQ=2AQ時，6t-60=2×（60-4t），

解得，；

③當AQ=2PQ時，60-4t=2（6t-60），

解得，．

綜上，運動時間的所有可能值有：t=12；；．

故，運動時間的所有可能值有：；t=6；；t=12；；．