Question

（2009•漳州）幾何模型：
條件：如下圖，A、B是直線l同旁的兩個(gè)定點(diǎn)．

問題：在直線l上確定一點(diǎn)P，使PA+PB的值最小．
方法：作點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接A′B交l于點(diǎn)P，則PA+PB=A′B的值最小（不必證明）．
模型應(yīng)用：
（1）如圖1，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，E為AB的中點(diǎn)，P是AC上一動(dòng)點(diǎn)．連接BD，由正方形對(duì)稱性可知，B與D關(guān)于直線AC對(duì)稱．連接ED交AC于P，則PB+PE的最小值是______；
（2）如圖2，⊙O的半徑為2，點(diǎn)A、B、C在⊙O上，OA⊥OB，∠AOC=60°，P是OB上一動(dòng)點(diǎn)，求PA+PC的最小值；
（3）如圖3，∠AOB=45°，P是∠AOB內(nèi)一點(diǎn)，PO=10，Q、R分別是OA、OB上的動(dòng)點(diǎn)，求△PQR周長(zhǎng)的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意易得PB+PE=PD+PE=DE，在△ADE中，根據(jù)勾股定理求得即可；
（2）作A關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接A′C，交OB于P，求A′C的長(zhǎng)，即是PA+PC的最小值；
（3）作出點(diǎn)P關(guān)于直線OA的對(duì)稱點(diǎn)M，關(guān)于直線OB的對(duì)稱點(diǎn)N，連接MN，它分別與OA，OB的交點(diǎn)Q、R，這時(shí)三角形PEF的周長(zhǎng)=MN，只要求MN的長(zhǎng)就行了．
解答：解：（1）∵四邊形ABCD是正方形，
∴AC垂直平分BD，
∴PB=PD，
由題意易得：PB+PE=PD+PE=DE，
在△ADE中，根據(jù)勾股定理得，DE=；

（2）作A關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接A′C，交OB于P，
PA+PC的最小值即為A′C的長(zhǎng)，
∵∠AOC=60°
∴∠A′OC=120°
作OD⊥A′C于D，則∠A′OD=60°
∵OA′=OA=2
∴A′D=
∴；

（3）分別作點(diǎn)P關(guān)于OA、OB的對(duì)稱點(diǎn)M、N，連接OM、ON、MN，MN交OA、OB于點(diǎn)Q、R，連接PR、PQ，此時(shí)△PQR周長(zhǎng)的最小值等于MN．
由軸對(duì)稱性質(zhì)可得，OM=ON=OP=10，∠MOA=∠POA，∠NOB=∠POB，
∴∠MON=2∠AOB=2×45°=90°，
在Rt△MON中，MN===10．
即△PQR周長(zhǎng)的最小值等于10．
點(diǎn)評(píng)：此題綜合性較強(qiáng)，主要考查有關(guān)軸對(duì)稱--最短路線的問題，綜合應(yīng)用了正方形、圓、等腰直角三角形的有關(guān)知識(shí)．