Question

如圖，已知：△ABC和△EDC中，AB=AC，EC=ED，∠BAC=∠CED．點A、D在直線C的同側．

（1）當B、C、E在同一直線上時，且∠BAC=60°（如圖1）．則∠AFB=

60

°；
（2）將圖1中的△ABC繞點C旋轉（點F不與點A、B重合），得到圖2或圖3．
①若∠BAC=α，則在圖2中，求∠AFB（用含α的式子表示）；
②在圖3中，圖2中的結論是否還成立？若成立，說明理由；若不成立，它等于什么？并寫出推理過程．

Answer 1

分析：（1）由題意易得△ABC∽△EDC，進一步證得△BCD∽△ACE，進而可得∠AFB=∠CBD+∠AEC=∠CAE+∠AEC=∠ACB=60°；
（2）①由前面步驟可得∠AFB=180°-∠CAE-∠BAC-∠ABD=180°-∠BAC-∠ABC=∠ACB=90°-

1

2

α；
②與前面步驟相同，可求得∠AFB=∠BDC+∠CDE+∠DEF=∠CDE+∠CED，代入數據求大小．

解答：解：（1）∠AFB=60°，
∵AB=AC，EC=ED，∠BAC=∠CED=60°，
∴△ABC∽△EDC，
∴∠CBD=∠CAE，
∴∠AFB=180°-∠CAE-∠BAC-∠ABD，
=180°-∠BAC-∠ABC，
=∠ACB，
∴∠AFB=60°；
故答案為60°；

（2）①∵AB=AC，EC=ED，∠BAC=∠CED，
∴△ABC∽△EDC，
∴∠ACB=∠ECD，

BC

DC

=

AC

CE

，
∴△BCD∽△ACE，
∴∠CBD=∠CAE，
∴∠AFB=180°-∠CAE-∠BAC-∠ABD，
=180°-∠BAC-∠ABC=∠ACB，
∵AB=AC，∠BAC=α，
∴∠ACB=90°-

1

2

α，
∴∠AFB=90°-

1

2

α，
②圖2中的結論不成立？若成立，它等于90°+

1

2

α，
理由如下：
∵AB=AC，EC=ED，∠BAC=∠CED，
∴△ABC∽△EDC，
∴∠ACB=∠ECD，

BC

DC

=

AC

CE

，
∴△BCD∽△ACE，
∴∠CBD=∠CAE，
∴∠BDC=∠AEC，
∴∠AFB=∠BDC+∠CDE+∠DEF，
=∠CDE+∠CED=180°-∠DCE，
∵AB=AC，EC=ED，∠BAC=∠DEC=α，
∴∠DCE=90°-

1

2

α，
∴∠AFB=180°-（90°-

1

2

α）=90°+

1

2

α．

點評：本題考查了相似三角形的判定與性質及等邊三角形的性質；解題時應根據圖形旋轉的變化規律，探究兩個角之間的數量關系．并且本題突出考查從特殊與一般的數學思想和實驗研究的能力，讓學生經歷了動手操作、觀察猜想、合情推理、歸納證明等全過程，題目的難度不小．