Question

【題目】已知：如圖1，線段AB、CD相交于點(diǎn)O，連接AD、CB，我們把形如圖1的圖形稱之為“8字形”，試解答下列問(wèn)題：

（1）在圖1中，請(qǐng)直接寫出∠A、∠B、∠C、∠D之間的數(shù)量關(guān)系；
（2）在圖2中，若∠D=40°，∠B=36°，∠DAB和∠BCD的平分線AP和CP相交于點(diǎn)P，并且與CD、AB分別相交于M、N，利用（1）的結(jié)論，試求∠P的度數(shù)；
（3）如果圖2中∠D和∠B為任意角時(shí)，其他條件不變，試問(wèn)∠P與∠D、∠B之間存在著怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】
（1）∠A+∠D=∠C+∠B
（2）解：由（1）可知，∠1+∠D=∠P+∠3，①

∠4+∠B=∠2+∠P，②

∵∠DAB和∠BCD的平分線AP和CP相交于點(diǎn)P，

∴∠1=∠2，∠3=∠4，

由①+②得：∠1+∠D+∠4+∠B=∠P+∠3+∠2+∠P，

即2∠P=∠D+∠B，

又∵∠D=40°，∠B=36°，

∴2∠P=40°+36°=76°，

∴∠P=38°

（3）解：∠P與∠D、∠B之間存在的關(guān)系為2∠P=∠D+∠B．

∵∠1+∠D=∠P+∠3，①

∠4+∠B=∠2+∠P，②

∵∠DAB和∠BCD的平分線AP和CP相交于點(diǎn)P，

∴∠1=∠2，∠3=∠4，

由①+②得：∠1+∠D+∠4+∠B=∠P+∠3+∠2+∠P，

即2∠P=∠D+∠B．

【解析】解：（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理以及對(duì)頂角相等，可得結(jié)論：∠A+∠D=∠C+∠B；所以答案是：∠A+∠D=∠C+∠B；
【考點(diǎn)精析】掌握三角形的內(nèi)角和外角和三角形的外角是解答本題的根本，需要知道三角形的三個(gè)內(nèi)角中，只可能有一個(gè)內(nèi)角是直角或鈍角；直角三角形的兩個(gè)銳角互余；三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和；三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角；三角形一邊與另一邊的延長(zhǎng)線組成的角，叫三角形的外角；三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和；三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角．