Question

如圖，拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）與x軸交于A（-3，0）、B兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C（0，

3

）．當(dāng)x=-4和x=2時(shí)，二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0）的函數(shù)值y相等，連接AC、BC．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若點(diǎn)M、N時(shí)從B點(diǎn)出發(fā)，均以每秒1個(gè)單位長度的速度分別沿BA、BC邊運(yùn)動(dòng)，其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒時(shí)，連接MN，將△BMN沿MN翻折，B點(diǎn)恰好落在AC邊上的P處，求t的值及點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）拋物線對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)F，使得△ACF是等腰三角形？若不存在請(qǐng)說明理由；若存在，請(qǐng)求出F點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)當(dāng)x=-4和x=2時(shí)，二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0）的函數(shù)值y相等，可以求得函數(shù)的對(duì)稱軸，根據(jù)A、B對(duì)稱，即可求得B的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法即可求得函數(shù)的解析式；
（2）根據(jù)M、N點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度相同，可以得到BM=BN，進(jìn)而根據(jù)翻折的性質(zhì)證明，四邊形BMPN是菱形，則△CPN相似于△CAB，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，求得OD，PD的長度，則可以求得P的坐標(biāo)；
（3）點(diǎn)F在對(duì)稱軸上，則F的橫坐標(biāo)一定是-1，△ACF是等腰三角形，分AF=AC，CF=CA，EA=EC三種情況進(jìn)行討論，前兩種情況利用t表示出AE，CE的長度，即可得到關(guān)于t的方程從而求解；第三種情況求得直線HF的解析式，再根據(jù)F的橫坐標(biāo)是-1，即可求解．

解答：解：（1）由題意可得，對(duì)稱軸為x=

-4+2

2

=-1，
由對(duì)稱性可得B點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0）
則設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+3）（x-1），
又過點(diǎn) C（0，

3

），代入可解得a=-

3

3

則解析式為y=-

3

3

(x+3)(x-1)，
即y=-

3

3

x2-

2 3

3

x+

3

（2）∵M(jìn)、N點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度相同，∴BM=BN=t，
又由翻折可得，NB=NP=t，MB=MP=t
∴四邊形BMPN是菱形，∴PN平行MN（即x軸）
∴△CPN相似于△CAB．
∴

PN

AB

=

CN

CB

易得AB=4，BC=2
∴

t

4

=

2-t

2

解得t=

4

3

∴NB=

4

3

，∴CN=

2

3

∴

CN

CB

=

CD

CO

=

DN

OB

，
代入可解得CD=

3

3

，DN=

1

3

∴OD=

2 3

3

，PD=1
∴P(-1，

2 3

3

)

（3）在直角△AOC中，AC=

OA2+OC2

=

9+3

=2

3

．
設(shè)F點(diǎn)坐標(biāo)為（1，a）
①當(dāng)AF=AC時(shí)，∵AC=2

3

，∴AE=

(-1+3)2+a2

=2

3

解得：a=±2

2

∴F（-1，2

2

）或（-1，-2

2

）；
②當(dāng)CF=CA時(shí)，∴CE=

12+(a- 3 )2

=2

3

解得：a=

3

±

11

．
則F的坐標(biāo)是（-1，

3

+

11

）或（-1，

3

-

11

）；
③當(dāng)EA=EC時(shí)，E點(diǎn)為AC垂直平分線與對(duì)稱軸的交點(diǎn)，中點(diǎn)H的坐標(biāo)是（-

3

2

，

3

2

）．
設(shè)直線AC的解析式是：y=kx+b，根據(jù)題意得：

-3k+b=0 b= 3

，解得：

k= 3 3 b= 3

，
則AC的解析式是：y=

3

3

x+

3

．
∵F點(diǎn)為AC垂直平分線與對(duì)稱軸的交點(diǎn)，
∴直線HF的一次項(xiàng)系數(shù)是-

3

．
設(shè)HF的解析式是y=-

3

x+c，把H的坐標(biāo)代入得：-

3

×（-

3

2

）+c=

3

2

，解得：c=-

3

，
則HF的解析式是：y=-

3

x-

3

．
令x=-1，解得y=0，
則F的坐標(biāo)是（-1，0）．
總之，F(xiàn)的坐標(biāo)是：（-1，2

2

）或（-1，-2

2

）或（-1，

3

+

11

）或（-1，

3

-

11

）或（-1，0）．

點(diǎn)評(píng)：本題是考查了二次函數(shù)與菱形的判定與性質(zhì)，待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式的綜合應(yīng)用，正確證明四邊形BMPN是菱形是關(guān)鍵．