Question

【題目】如圖①，O為坐標(biāo)原點，點B在x軸的正半軸上，四邊形OACB是平行四邊形．．反比例函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象經(jīng)過點A，交BC的中點F．且 ．

（1）求k值和點C的坐標(biāo)；

（2）過點F作EF∥OB，交OA于點E（如圖②），點P為直線EF上的一個動點，連接PA，PO．是否存在這樣的點P，使以P、O、A為頂點的三角形是直角三角形？若存在，請直接寫出所有點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）k=12，；（2）存在，，，，

【解析】

（1）先過點A作AH⊥OB，設(shè)OA=a，根據(jù)，表示 出AH和OH的值，求出S△AOH的值，根據(jù)S△AOF=9，求出平行四邊形AOBC的面積，根據(jù)F為BC的中點，求出S△OBF=，根據(jù)BF=a，∠FBM=∠AOB，得出S△BMF=BMFM，S△FOM=+a2，再根據(jù)點A，F都在的圖象上，S△AOH=k，求出a，最后根據(jù)S平行四邊形AOBC=OBAH，得出OB=AC=，即可求出點C的坐標(biāo)；

（2）分別根據(jù)當(dāng)∠APO=90°時，在OA的兩側(cè)各有一點P，得出P1，P2；當(dāng)∠PAO=90°時，求出P3；當(dāng)∠POA=90°時，求出P4即可．

（1）過點作于，設(shè)OA=a（a＞0），過點F作FM⊥x軸于M，過點C作CN⊥x軸于點N，

由平行四邊形性質(zhì)可證得OH=BN，

，

，

為的中點

，

，

點，都在的圖象上

，

，，

，

∴ON=OB+OH=

（2）存在三種情況．

∵EF∥OB，

∴點P的縱坐標(biāo)為：2，

設(shè)點P（x，2），

∴，，

當(dāng)∠APO=90°時，則PA2+OP2=OA2，

即+=25，

解得：x1=4，x2=-1，，

∴，；

當(dāng)∠PAO=90°時，PA2+OA2=OP2，

即+25=

解得，x=，

∴，

當(dāng)∠POA=90°時，OP2+OA2=PA2，

即+25=，

解得：x=-，

∴．

綜上可得：點P的坐標(biāo)為：，，，．