Question

已知拋物線y=x²-2mx+m²與直線y=2x交點的橫坐標均為整數，且m＜2，求滿足要求的m的整數值．

Answer 1

分析：由題意拋物線y=x²-2mx+m²與直線y=2x相交，聯立方程構成一元二次方程，此方程一定有解，推出△≥0，再根據拋物線y=x²-2mx+m²與直線y=2x交點的橫坐標均為整數，知m要為整數，根據上式求出的m范圍，求出m的整數值．

解答：解：∵拋物線y=x²-2mx+m²與直線y=2x相交，
∴x²-2mx+m²=2x，
∴x²-2（m+1）x+m²=0，
∴△=[-2（m+1）]²-4m²≥0，
解得m≥-

1

2

，
∵m＜2，
∴-

1

2

≤m＜2；
∵m為整數，
∴m=0或1，
∵拋物線y=x²-2mx+m²與直線y=2x交點的橫坐標均為整數，
即方程x²-2mx+m²=2x的根為整數，
當m=0時，x²-2x=0，
x₁=0，x₂=2；
當m=1時，x²-4x+1=0，
∵△=（-4）²-4=12，
∴x²-4x+1=0沒有整數根，
∴m=1不符合題意，舍去，
∴滿足要求的m的整數值為0．

點評：此題主要考查一元二次方程與函數的關系，已知兩函數相交，把他們轉化為方程求根的問題，再根據根的判別式求出m的范圍，此題涉及到整數解，就要從求出的范圍中夾出m的值，這是一類經常考的題，難度適中．