Question

如圖，在矩形ABCD中，AB=6 cm，BC=12 cm，點P從點A開始以1 cm/s的速度沿AB邊向點B移動，點Q從點B開始以2 cm/s的速度沿BC邊向點C移動．如果P、Q分別從A、B同時出發，設移動的時間為t．
求：（1）當t為多少時，△PBQ的面積等于8 cm²？
（2）當t為多少時，△PQD是以PD為斜邊的直角三角形？

Answer 1

【答案】分析：（1）若移動時間為t，那么可以用含t的代數式表示△BPQ中BP，BQ，那么利用面積公式就可以得到關于t的一元二次方程，解即可，并要根據實際意義確定t的值；
（2）用含t的代數式分別表示圖中各線段，在Rt△ADP中，利用勾股定理可求出DP²，同理，在Rt△DPQ中利用勾股定理也可以求出DP²，聯合起來，得到關于t的一元二次方程，解即可，然后根據實際意義確定t的值．
解答：解：（1）AP=t，BP=6-t，BQ=2t，
△PBQ的面積等于8cm²
則（6-t）×2t=8
整理得t²-6t+8=0，解得t₁=2，t₂=4
即當t為2秒或4秒時，△PBQ的面積等于8cm²；

（2）易得PD²=t²+12²，PQ²=（6-t）²+（2t）²，QD²=（12-2t）²+6²，
∵△PQD是以PD為斜邊的直角三角形
∴PD²=PQ²+QD²，即t²+12²=（6-t）²+（2t）²+（12-2t）²+6²，
整理得2t²-15t+18=0，解之得t₁=6，t₂=，
即當t為秒或6秒時，△PQD是以PD為斜邊的直角三角形．
點評：本題利用了三角形的面積公式，勾股定理，以及解一元二次方程，及根據題意確定根有無實際意義等知識．