Question

已知：二次函數y=x²-4x+m的圖象與x軸交于不同的兩點A（x₁，0）、B（x₂，0）（x₁＜x₂），其頂點是點C，對稱軸與x軸的交于點D．
（1）求實數m的取值范圍；
（2）如果（x₁+1）（x₂+1）=8，求二次函數的解析式；
（3）把（2）中所得的二次函數的圖象沿y軸上下平移，如果平移后的函數圖象與x軸交于點A₁、B₁，頂點為點C₁，且△A₁B₁C₁是等邊三角形，求平移后所得圖象的函數解析式．

Answer 1

分析：（1）由二次函數y=x²-4x+m的圖象與x軸交于不同的兩點，可得判別式△＞0，然后由△=16-4m，即可求得實數m的取值范圍；
（2）由根與系數的關系即可得x₁•x₂=m，x₁+x₂=4，又由（x₁+1）（x₂+1）=8，即可求得m的值，繼而求得此二次函數的解析式；
（3）設平移b個單位，由對稱軸為x=2，C（2，-1），即可得C₁（2，-1+b），又由△A₁B₁C₁是等邊三角形，根據三角函數的性質，即可求得b的值，繼而求得平移后所得圖象的函數解析式．

解答：解：（1）∵二次函數y=x²-4x+m的圖象與x軸交于不同的兩點，
∴△=16-4m＞0，
∴m＜4，
∴實數m的取值范圍為：m＜4；

（2）∵y=x²-4x+m，
∴x₁•x₂=m，x₁+x₂=4，
由（x₁+1）（x₂+1）=x₁x₂+（x₁+x₂）+1=8，
即m+4+1=8，
∴m=3，
∴二次函數的解析式為：y=x²-4x+3；

（3）∵對稱軸為x=2，C（2，-1），
設平移b個單位，
則y=x²-4x+3+b=（x-2）²-1+b，
∴C₁（2，-1+b），
根據勾股關系得出：|

-1+b

x1-x2

|=

3

2

，
又∵x₁•x₂=3+b，x₁+x₂=4，
∴（x₁-x₂）²=4-4b，
解得：b=-2或1，
代入函數，b=1時，與x軸只有一個交點，不適合，
當b=-2時，y=x²-4x+1，原函數圖象向下平移2個單位可得．
∴平移后所得圖象的函數解析式為：y=x²-4x+1．

點評：此題考查了二次函數與一元二次方程的關系，判別式與根與系數的關系，平移的性質等知識．此題綜合性很強，難度適中，解題的關鍵是方程思想與數形結合思想的應用．