Question

如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=16．∠BAC的平分線AD交BC于D，經過A、D兩點的⊙O交AB于E，且點O在AB上．
（1）求證：BC是⊙O的切線；
（2）求AF的長．

Answer 1

（1）證明：連接OD，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA．（1分）
∵AD平分∠BAC，
∴∠OAD=∠CAD．（2分）
∴OD∥AC．（3分）
∵∠C=90°，
∴OD⊥BC于D．
∴BC是⊙O的切線．（4分）

（2）過D作DG⊥AB于G，
∴DG=DC，AG=AC．（5分）
設DC=x，則BD=16-x，BG=8，
∴8²+x²=（16-x）²
∴x=6．（6分）
設半徑為r，則（12-r）²+6²=r²
∴r=7.5．
∴EG=3．（7分）
連接DE，DF，易證△DGE≌△DCF，
∴CF=3，
∴AF=9．（8分）

（2）證法2：（如圖）連OD，OF，作OM⊥AF于M；
設DC=x，（x的求法同于前面）
∴x=6；
∵OM⊥AF，OD⊥BC，則MC=OD=R，OM=DC=6，AM=12-R，
∴R²=（12-R）²+6²，
∴R=7.5，
∴AM=12-7.5=4.5，
∴AF=2AM=9．

證法3：（如圖）連EF，與OD交于H點，設DC=x
∴x=6，（求法同前）；
在Rt△BOD中，BO=20-R，OD=R，BD=10；
∴（20-R）²=R²+10²，
∴R=7.5，
∴AE=15；
∵EF=2FH=2CD=12，
在Rt△EAF中，AF²=AE²-EF²=15²-12²=81，
∴AF=9．

證法4，（如圖）連EF；設DC=x，
∴x=6，（求法同前）
∴EF=2FH=2CD=12；
∵S_△BEF+S_梯形EFCB=S_△ABC，

1

2

EF•BF+

1

2

(EF+BC)•(AC-AF)=

1

2

AC•BC，
∴AF=9．