Question

如圖，在平面直角坐標系中，已知點A（0，6），B（8，0），動點P從點A開始在線段AO上以每秒1個單位長度的速度向點O移動，同時動點Q從B點開始在線段BA上以每秒2個單位長度的速度向點A移動，設點P，Q移動的時間為t（s）．當t為何值時，△APQ與△AOB相似？并求出此時點P與點Q的坐標．

Answer 1

分析：若△APQ與△AOB相似，則因為A與A對應，所以只有兩種情況，P與O對應或者P與B對應．

解答：解：若△APQ與△AOB相似，有兩種情況．
∵OA=6，OB=8，∠AOB=90°，
∴AB=10．設Q點的坐標是（x，y）．
（1）當P與O對應時，△APQ∽△AOB，

AP

AO

=

AQ

AB

，

t

6

=

10-2t

10

，即t=

30

11

s，
∴AP=

30

11

，
∴OP=0A-AP=

36

11

．
∴BQ=

60

11

，
∴x=OB-BQ•cosB=8-

60

11

×

8

10

=

40

11

，
過Q作QC⊥OB于C，
y=QC=QBsinB=

36

11

，
P（0，

36

11

），Q（

40

11

，

36

11

）

（2）當P與O對應時，△APQ∽△AOB，
∴

AP

AO

=

AQ

AB

，即

t

6

=

10-2t

10

，
解得：t=

30

11

，
∴AP=

30

11

，OP=OA-AP=

36

11

，
∴BQ=

60

11

，
∴x=OB-BQ•cosB=8-

60

11

×

8

10

=

40

11

，y=QBsinB=

60

11

×

6

10

=

36

11

．
所以P（0，

36

11

），Q（

40

11

，

36

11

），
當P與B對應時，△APQ∽△ABO，
∴

AP

AB

=

AQ

AO

，即

t

10

=

10-2t

6

，
解得：t=

50

13

，
∴AP=

50

13

，OP=OA-AP=

28

13

．
∴BQ=

100

13

，
∴x=OB-BQ•cosB=8-

100

13

×

8

10

=

24

13

，y=QBsinB=

100

13

×

6

10

=

60

13

．
所以P（0，

28

13

）Q（

24

13

，

60

13

），
綜上，P（0，

36

11

），Q（

40

11

，

36

11

）或者P（0，

28

13

）Q（

24

13

，

60

13

）．

點評：判斷△APQ與△AOB相似有兩種情況是做本題的關鍵．