Question

如圖，已知直線y=

1

2

x+2與x軸交于點A、與y軸交于點B、與雙曲線y=

m

x

交于點C，CD⊥x軸，垂足為D，S_△ACD=9．求：
（1）雙曲線的解析式；
（2）在雙曲線上有一點E，使得△EOC為以點O為頂角的頂點的等腰三角形，直接寫出點E的坐標．

Answer 1

分析：（1）首先求出點A和點B的坐標，設C點的坐標為（a，b），根據S_△ACD=9和點C在直線y=

1

2

x+2上，求出a和b的值，C點的坐標求出，雙曲線的解析式即可求出；
（2）設雙曲線上點E坐標為（n，

6

n

），根據△EOC為以點O為頂角的頂點的等腰三角形，由兩腰相等，列出等式求出n的值．

解答：解：（1）設C點的坐標為（a，b）（a＞0，b＞0），
∵直線y=

1

2

x+2與x軸交于點A、與y軸交于點B、，
∴令x=0，y=2，令y=0，x=-4，
∴點A（-4，0），點B（0，2），
∵點C在直線y=

1

2

x+2上，
∴b=

1

2

a+2…①，
∵S_△ACD=9，
∴

1

2

（a+4）b=9…②，
聯立①②解得a=2，b=3，
∴點C坐標為（2，3），
∵雙曲線y=

m

x

過點C，
∴m=6，
∴雙曲線的解析式y=

6

x

；

（2）設雙曲線上點E坐標為（n，

6

n

），
∵△EOC為以點O為頂角的頂點的等腰三角形，
∴OC=OE，
∴

22+32

=

n2+( 6 n )2

，
解得n=±3，
∵點C在第一象限，
∴n=3，
∴E點坐標為（3，2）．

點評：本題主要考查反比例函數的綜合題，解答本題的關鍵是熟練掌握反比例函數的性質以及等腰三角形的知識，此題難度不大．