Question

（2008•永州）如圖，二次函數y=ax²+bx+c（a＞0）與坐標軸交于點A、B、C且OA=1，OB=OC=3．
（1）求此二次函數的解析式；
（2）寫出頂點坐標和對稱軸方程；
（3）點M、N在y=ax²+bx+c的圖象上（點N在點M的右邊），且MN∥x軸，求以MN為直徑且與x軸相切的圓的半徑．

Answer 1

【答案】分析：（1）由OA=1，OB=OC=3，可知三點的坐標分別為A（-1，0），B（3，0），C（0，-3），用待定系數法求得解析式；
（2）把解析式變換成頂點式，寫出坐標；
（3）由（2）知，對稱軸為x=1，當MN在x軸下方時，設圓半徑為r，則點N的坐標為（1+r，-r），代入解析式求得r的值，同理求得當MN在x軸上方時r的值．
解答：解：（1）依題意A（-1，0），B（3，0），C（0，-3）分別代入y=ax²+bx+c，
解方程組得所求解析式為y=x²-2x-3；

（2）y=x²-2x-3=（x-1）²-4，
∴頂點坐標（1，-4），對稱軸x=1；

（3）設圓半徑為r，當MN在x軸下方時，N點坐標為（1+r，-r），
把N點代入y=x²-2x-3得，
同理可得另一種情形，
∴圓的半徑為或．
點評：本題利用了待定系數法求函數的解析式，二次函數的圖象與圓的關系，相切的概念求解．