Question

如圖．直線AB分別交y軸，x軸于A，B兩點，已知A（0，2

3

），B（2，0），以P（-

1

2

，0）為圓心的圓與直線AB相切于點E．
（1）求⊙P的半徑長．
（2）若Rt△ABO被直線y=kx-2k分成兩部分，設靠近原點那一部分面積為S，求出S與自變量k的函數關系式．
（3）若直線y=kx-2k把Rt△ABO分成兩部分的面積比為1：2，求k的值．

Answer 1

分析：（1）連接PE，由相似三角形的判定定理得出△AOB∽△PEB，再根據相似三角形的對應邊成比例即可得出PE的長；
（2））在y=kx-2k中，令y=0，則x=2，故可得出直線y=kx-2k經過點（2，0），設直線y=kx-2k與y軸交于點C，則C（0，-2k），由三角形的面積公式即可得出結論；
（3）當點C是OA的一個三等分點時，根據直線y=kx-2k把Rt△ABO分成兩部分的面積比為1：2，可知S_△COB：S_△ABO=1：2，或S_△ABO：S_△COB=1：2，
再由三角形的面積公式即可得出結論．

解答：解：（1）連接PE，
∵AB切⊙P于點E，
∴PE⊥AB，
∴∠AOB=∠PEB=90°，
∵∠B=∠B，
∴△AOB∽△PEB，
∴

PE

OA

=

PB

AB

，
∵OA=2

3

，PB=2+

1

2

=2

1

2

，AB=

22+(2 3 )2

=4，
∴

PE

2 3

=

2 1 2

4

，解得PE=

5 3

4

；

（2）∵在y=kx-2k中，令y=0，則x=2，
∴直線y=kx-2k經過點（2，0），
設直線y=kx-2k與y軸交于點C，則C（0，-2k），
∴S_△BOC=

1

2

OB•OC=

1

2

×2×（-2k）=-2k，此時0＜-2k＜2

3

，
∴-

3

＜k＜0，
∴S=-2k（-

3

＜k＜0）；

（3）當點C是OA的一個三等分點時，
∵直線y=kx-2k把Rt△ABO分成兩部分的面積比為1：2，
∴S_△COB：S_△ABO=1：2，或S_△ABO：S_△COB=1：2，
當S_△COB：S_△ABC=1：2時，
S_△COB=

1

3

S_△ABO=

1

3

×

1

2

×2×2

3

=

2

3

3

，
∴-2k=

2 3

3

，解得k=-

3

3

；
當S_△ABO：S_△COB=1：2時，S_△COB=

2

3

S_△AOB=

2

3

×

1

2

×2×2

3

=

4

3

3

，
∴-2k=

4

3

3

，解得k=-

2 3

3

，
綜上所述，k=-

3

3

或k=-

2 3

3

．

點評：本題考查的是圓的綜合題，涉及到切線的性質、相似三角形的判定與性質、三角形的面積公式等知識，難度適中．