Question

如圖，正方形ABCD的邊長為3a，兩動點E、F分別從頂點B、C同時開始以相同速度沿BC、CD運動，與△BCF相應的△EGH在運動過程中始終保持△EGH≌△BCF，對應邊EG=BC，B、E、C、G在一直線上．
（1）若BE=a，求DH的長；
（2）當E點在BC邊上的什么位置時，△DHE的面積取得最小值？并求該三角形面積的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）可通過構建直角三角形求解．連接FH，則FH∥BE且FH=BE，FH⊥CD．因此三角形DFH為直角三角形．
點E、F分別從頂點B、C同時開始以相同速度沿BC、CD運動，那么DF=3a-a=2a，DF=2a，FH=a，根據勾股定理就求出了DH的長．
（2）設BE=x，△DHE的面積為y，通過三角形DHE的面積=三角形CDE的面積+梯形CDHG的面積-三角形EGH的面積，來得出關于x，y的函數關系式，然后根據函數的性質求出y取最小值時x的值，并求出此時y的值．
解答：解：（1）連接FH，則FH∥BE且FH=BE，
在Rt△DFH中，DF=3a-a=2a，FH=a，∠DFH=90°，
所以，DH==a；

（2）設BE=x，△DHE的面積為y，
依題意y=S_△CDE+S_梯形CDHG-S_△EGH
=×3a×（3a-x）+×（3a+x）×x-×3a×x
=x²-ax+a²
y=x²-ax+a²=（x-a）²+a²
當x=a，即BE=BC，E是BC的中點時，y取最小值，△DHE的面積y的最小值為a²．
點評：本題主要考查了正方形的性質，二次函數的綜合應用等知識點．