Question

已知△ABC為等腰三角形，由A點作BC邊的高恰好等于BC邊長的一半，則∠BAC的度數為    ．

Answer 1

【答案】分析：本題要分情況討論，根據等腰三角形的性質來分析：①當AD在三角形的內部，②AD在三角形的外部以，③BC邊為等腰三角形的底邊三種情況．
解答：解：如下圖，分三種情況：①AB=BC，AD⊥BC，AD在三角形的內部，
由題意知，AD=BC=AB，
∵sin∠B==，
∴∠B=30°，∠C==75°，
∴∠BAC=∠C=75°；
②AC=BC，AD⊥BC，AD在三角形的外部，
由題意知，AD=BC=AC，
∵sin∠ACD==，
∴∠ACD=30°=∠B+∠CAB，
∵∠B=∠CAB，
∴∠BAC=15°；
③AC=BC，AD⊥BC，BC邊為等腰三角形的底邊，
由等腰三角形的底邊上的高與底邊上中線，頂角的平分線重合知，點D為BC的中點，
由題意知，AD=BC=CD=BD，
∴△ABD，△ADC均為等腰直角三角形，
∴∠BAD=∠CAD=45°，
∴∠BAC=90°，
∴∠BAC的度數為90°或75°或15°，
故填90°或75°或15°．
點評：本題考查了等腰三角形的性質，及三角形內角和定理、三角形的外角的性質；本題要分三種情況討論：前兩種情況為∠BAC為等腰三角形的底角，且AD在三角形內部還是外部；第三種為∠BAC為等腰三角形的頂角；這是正確解答本題的關鍵．