Question

25、如圖，已知△ABC為等邊三角形，CF∥AB，點P為線段AB上任意一點（點P不與A、B重合），過點P作PE∥BC，分別交AC、CF于G、E．
（1）四邊形PBCE是平行四邊形嗎？為什么？
（2）求證：CP=AE；
（3）試探索：當P為AB的中點時，四邊形APCE是什么樣的特殊四邊形？并說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據條件PE∥BC，CF∥AB，利用兩條對邊互相平行的四邊形是平行四邊形可直接的證出結論；
（2）證出PB=EC，∠B=∠2再加上條件BC=CA，可得△BPC≌△CEA，可得到CP=AE；
（3）首先證明四邊形APCE是平行四邊形，再證明∠APC=90°，即可以證出四邊形APCE是矩形．

解答：解：（1）四邊形PBCE是平行四邊形…（1分）
理由：∵CF∥AB（即CE∥BP），PE∥BC，
∴四邊形PBCE是平行四邊形…（3分）；
（2）證明：（如圖1）
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠B=∠1=60°，BC=CA，
∵CF∥AB，
∴∠2=∠1，
∴∠B=∠2…（4分），
又由（1）知四邊形PBCE為平行四邊形，
∴PB=EC…（5分），
在△BPC和△CEA中，
PB=EC，∠B=∠2，BC=CA，
∴△BPC≌△CEA…（6分），
∴CP=AE…（7分）；
（3）當P為AB的中點時，四邊形APCE是矩形（如圖2），…（8分）
理由：∵P為AB的中點，
∴AP=BP，
又由（2）證得：BP=CE，
∴AP=CE，
∵CF∥AB，
即EC∥AP，
∴四邊形APCE是平行四邊形…（10分）
又∵△ABC是等邊三角形，P為AB的中點，
∴CP⊥AB（“三線合一”），
∴∠APC=90°…（12分），
∴四邊形APCE是矩形…（13分）．

點評：此題主要考查了平行四邊形的判定，全等三角形的判定與性質，矩形的判定，熟練掌握各知識點是解題的關鍵，此題綜合性較強，難度較大．