Question

如圖，直線l經過點A(1，0)，且與雙曲線y＝（x＞0）交于點B(2，1)，過點P(p，p－1)（p＞1）作x軸的平行線分別交曲線y＝（x＞0）和y＝－（x＜0）于M，N兩點.

（1）求m的值及直線l的解析式；

（2）若點P在直線y＝2上，求證：△PMB∽△PNA；

（3）是否存在實數p，使得S△AMN＝4S△APM？若存在，請求出所有滿足條件的p的值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

（1）∵點B(2，1)在雙曲線y＝上，

∴，得m＝2.

設直線l的解析式為y＝kx＋b

∵直線l過A(1，0)和B(2，1)

∴，解得

∴直線l的解析式為y＝x－1.

(2) 證明：當x＝p時，y＝p－1，點P(p，p－1)（p＞1）

在直線l上，如圖.

∵P(p，p－1)（p＞1）在直線y＝2上，

∴p－1＝2，解得p＝3

∴P(3，2)

∵PN∥x軸，∴P、M、N的縱坐標都等于2

把y＝2分別代入雙曲線y＝和y＝，得M(1,2),N(-1,2)

∴，即M是PN的中點，

同理：B是PA的中點，

∴BM∥AN

∴△PMB∽△PNA.

（3）由于PN∥x軸，P(p，p－1)（p＞1），

              ∴M、N、P的縱坐標都是p－1（p＞1）

              把y＝p－1分別代入雙曲線y＝（x＞0）和y＝－（x＜0），

得M的橫坐標x＝和N的橫坐標x＝－（其中p＞1）

∵S△AMN＝4S△APM且P、M、N在同一直線上，

∴,得MN=4PM

即＝4(p－)，整理得：p2－p－3＝0，

解得：p＝

由于p＞1，∴負值舍去

∴p＝

經檢驗p＝是原題的解，

∴存在實數p，使得S△AMN＝4S△APM，

p的值為.