Question

【題目】已知四邊形ABCD是正方形，等腰直角△AEF的直角頂點E在直線BC上（不與點B，C重合），FM⊥AD，交射線AD于點M．

（1）當點E在邊BC上，點M在邊AD的延長線上時，如圖①，求證：AB+BE=AM；
（提示：延長MF，交邊BC的延長線于點H．）
（2）當點E在邊CB的延長線上，點M在邊AD上時，如圖②；當點E在邊BC的延長線上，點M在邊AD上時，如圖③．請分別寫出線段AB，BE，AM之間的數量關系，不需要證明；
（3）在（1），（2）的條件下，若BE=，∠AFM=15°，則AM=.

Answer 1

【答案】
（1）

證明：如圖①，延長MF，交邊BC的延長線于點H，

∵四邊形ABCD是正方形，FM⊥AD，

∴∠ABE=90°，∠EHF=90°，四邊形ABHM為矩形，

∴AM=BH=BE+EH

∵△AEF為等腰直角三角形，

∴AE=AF，∠AEB+∠FEH=90°，

∵∠EFH+∠FEH=90°，

∴∠AEB=∠EFH，

在△ABE與△EHF中，

，

∴△ABE≌△EHF（AAS），

∴AB=EH，

∵AM=BH=BE+EH，

∴AM=BE+AB，即AB+BE=AM；

（2）

解：如圖②，∵∠AEB+∠FEH=90°，∠AEB+∠EAB=90°，

∴∠FEH=∠EAB，

在△ABE與△EHF中，

，

∴△ABE≌△EHF（AAS），

∴AB=EH=EB+AM；

如圖③∠BAE+∠AEB=90°，∠AEB+∠HEF=90°，

∴∠BAE=∠HEF，

在△ABE與△EHF中，

，

∴△ABE≌△EHF（AAS），

∴AB=EH，

∴BE=BH+EH=AM+AB；

（3）

解：如圖①，∵∠AFM=15°，∠AFE=45°，

∴∠EFM=60°，

∴∠EFH=120°，

在△EFH中，

∵∠FHE=90°，∠EFH=120°，

∴此情況不存在；

如圖②，∵∠AFM=15°，∠AFE=45°，

∴∠EFH=60°，

∵△ABE≌△EHF，

∴∠EAB=∠EFH=60°，

∵BE=，

∴AB=BEtan60°=×=3，

∵AB=EB+AM，

∴AM=AB﹣EB=3﹣；

如圖③，∵∠AFM=15°，∠AFE=45°，

∴∠EFH=45°﹣15°=30°，

∴∠AEB=30°，

∵BE=，

∴AB=BEtan30°==1，

∵BE=AM+AB，

AM=BE﹣AB=，

故答案為：3﹣或．

【解析】（1）首先利用等腰直角三角形的性質和正方形的性質得AE=EF，∠ABE=∠EHF=90°，利用全等三角形的判定定理證明△ABE≌△EHF，再利用全等三角形的性質定理可得結論；
（2）同（1）首先證明△ABE≌△EHF，再利用全等三角形的性質定理可得結論；
（3）利用分類討論的思想，首先由∠AFM=15°，易得∠EFH，由△ABE≌△EHF，根據全等三角形的性質易得∠AEB，利用銳角三角函數易得AB，利用（1）（2）的結論，易得AM．
【考點精析】關于本題考查的全等三角形的性質和平行四邊形的性質，需要了解全等三角形的對應邊相等; 全等三角形的對應角相等；平行四邊形的對邊相等且平行；平行四邊形的對角相等，鄰角互補；平行四邊形的對角線互相平分才能得出正確答案．