Question

以四邊形ABCD的邊AB、BC、CD、DA為斜邊分別向外側作等腰直角三角形，直角頂點分別為E、F、G、H，順次連接這四個點，得四邊形EFGH．

（1）如圖1，當四邊形ABCD為正方形時，我們發現四邊形EFGH是正方形；如圖2，當四邊形ABCD為矩形時，請判斷：四邊形EFGH的形狀（不要求證明）；

（2）如圖3，當四邊形ABCD為一般平行四邊形時，設∠ADC=α（0°＜α＜90°），

①試用含α的代數式表示∠HAE；

②求證：HE=HG；

③四邊形EFGH是什么四邊形？并說明理由．

Answer 1

 

分析： （1）根據等腰直角三角形的性質得到∠E=∠F=∠G=∠H=90°，求出四邊形是矩形，根據勾股定理求出AH=HD=AD，DG=GC=CD，CF=BF=BC，AE=BE=AB，推出EF=FG=GH=EH，根據正方形的判定推出四邊形EFGH是正方形即可；

（2）①根據平行四邊形的性質得出，∠BAD=180°﹣a，根據△HAD和△EAB是等腰直角三角形，得到∠HAD=∠EAB=45°，求出∠HAE即可；

②根據△AEB和△DGC是等腰直角三角形，得出AE=AB，DG=CD，平行四邊形的性質得出AB=CD，求出∠HDG=90°+a=∠HAE，根據SAS證△HAE≌△HDG，根據全等三角形的性質即可得出HE=HG；

③與②證明過程類似求出GH=GF，FG=FE，推出GH=GF=EF=HE，得出菱形EFGH，證△HAE≌△HDG，求出∠AHD=90°，∠EHG=90°，即可推出結論．

解答： （1）解：四邊形EFGH的形狀是正方形．

 

（2）解：①∠HAE=90°+a，

在平行四邊形ABCD中AB∥CD，

∴∠BAD=180°﹣∠ADC=180°﹣a，

∵△HAD和△EAB是等腰直角三角形，

∴∠HAD=∠EAB=45°，

∴∠HAE=360°﹣∠HAD﹣∠EAB﹣∠BAD=360°﹣45°﹣45°﹣（180°﹣a）=90°+a，

答：用含α的代數式表示∠HAE是90°+a．

 

②證明：∵△AEB和△DGC是等腰直角三角形，

∴AE=AB，DG=CD，

在平行四邊形ABCD中，AB=CD，

∴AE=DG，

∵△AHD和△DGC是等腰直角三角形，

∴∠HDA=∠CDG=45°，

∴∠HDG=∠HDA+∠ADC+∠CDG=90°+a=∠HAE，

∵△AHD是等腰直角三角形，

∴HA=HD，

∴△HAE≌△HDG，

∴HE=HG．

 

③答：四邊形EFGH是正方形，

理由是：由②同理可得：GH=GF，FG=FE，

∵HE=HG，

∴GH=GF=EF=HE，

∴四邊形EFGH是菱形，

∵△HAE≌△HDG，

∴∠DHG=∠AHE，

∵∠AHD=∠AHG+∠DHG=90°，

∴∠EHG=∠AHG+∠AHE=90°，

∴四邊形EFGH是正方形．