Question

如圖①，AB為⊙O的直徑，Q為AB上任意一點，射線PQ⊥AB于Q，C為QP上任意一點，直線AC與⊙O交于點D，過D作⊙O的切線交QP于P．
（1）當Q在OB上時，求證：PC=PD；
（2）當Q在點O時（如圖2），PC=PD是否成立？
（3）當Q在點B時（如圖3），結論是否成立．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接OD，則OD⊥PD．欲證PC=PD，只需證∠PCD=∠PDC即可．∠PCD=∠ACQ=90°-∠A；∠PDC=90°-∠ODA．因為OA=OD，所以∠A=∠ODA．問題得證；（2）、（3）同理可證結論成立．
解答：證明：（1）連接OD．
∵PD是⊙O的切線，
∴∠PDC+∠ADO=90°．
∵OA=OD，
∴∠A=∠ADO．
∴∠PDC+∠A=90°．
∵PQ⊥AB，∴∠ACQ+∠A=90°．
∵∠ACQ=∠PCD，
∴∠PCD=∠PDC．
∴PC=PD．

（2）Q在點O時，結論成立．連接OD．
∵PD是⊙O的切線，
∴∠PDC+∠ADO=90°．
∵OA=OD，
∴∠A=∠ADO．
∵PQ⊥AB，
∴∠ACO+∠A=90°．
∵∠ACO=∠PCD，
∴∠PCD=∠PDC．
∴PC=PD．
∴Q在點O時，結論成立．

（3）Q在點B時，結論也成立．
連接OD．
∵PD是⊙O的切線，
∴∠ODP=90°．
∴∠PDC+∠ADO=90°．
∵OA=OD，
∴∠A=∠ADO．
∵PQ⊥AB，
∴∠ACB+∠A=90°．
∴∠ACB=∠PDC．
∴PC=PD．
∴Q在點B時，結論也成立．
點評：此題考查了切線的性質、等腰三角形的判定等知識點，運用發散思維對知識進行拓展，很具訓練價值．