Question

（2005•武漢）如圖，已知：⊙O₁、⊙O₂外切于點P，A是⊙O₁上一點，直線AC切⊙O₂于點C交⊙O₁于點B，直線AP交⊙O₂于點D．
（1）求證：PC平分∠BPD；
（2）將“⊙O₁、⊙O₂外切于點P”改為“⊙O₁、⊙O₂內切于點P”，其它條件不變．（1）中的結論是否仍然成立？畫出圖形并證明你的結論．

Answer 1

【答案】分析：（1）欲證PC平分∠BPD，即證∠BPC=∠CPD，可以過點P作兩圓的公切線PM交AC于點M，根據切線的性質得出∠BPM=∠A，∠MPC=∠C，再通過角與角相互間的關系得出；
（2）同（1），只是∠BPC=∠MPC-∠MPB=∠BCP-∠A=∠CPA．
解答：證明：（1）如圖1，過點P作兩圓的公切線MP，交AC于點M．
則∠BPM=∠A，∠MPC=∠C．
∴∠BPC=∠BPM+∠MPC=∠A+∠C=∠CPD，
∴PC平分∠BPD；


（2）如圖2，過點P作兩圓的公切線PM，
則∠MPB=∠A，∠MPC=∠BCP=∠PDC；
∴∠BPC=∠MPC-∠MPB=∠BCP-∠A=∠CPA，
∴PC平分∠BPD．
點評：本題綜合考查了圓與圓的位置關系中角平分線的判斷，同時考查了切線的性質．