Question

設k是任意實數，討論關于x的方程|x²-1|=x+k的解的個數．

Answer 1

分析：先根據x的范圍去絕對值，（1）當x＞或x＜-1，方程變為x²-x=1+k，要求方程解的個數就是要二次函數y=x²-x與直線y=1+k的交點個數，可求出二次函數y=x²-x的頂點（

1

2

，-

1

4

），且過（0，0），（1，0）兩點，則當1+k＞0，原方程無實根；當-

1

4

＜1+k≤0，原方程有兩個實根；當1+k=-

1

4

，原方程有一個實根；當1+k＜-

1

4

，原方程無實根．（2）當-1≤x≤1，方程變為x²+x=1-k，和（1）的解法一樣求出k的范圍．

解答：解：（1）當x＞或x＜-1，方程變為x²-x=1+k，則方程解的個數就是二次函數y=x²-x與直線y=1+k的交點個數，
二次函數y=x²-x的頂點（

1

2

，-

1

4

），且過（0，0），（1，0）兩點．
當1+k＞0，即k＞-1，二次函數y=x²-x與直線y=1+k在所在范圍無交點，所以原方程無實根；
當-

1

4

＜1+k≤0，即-

5

4

＜k≤-1，二次函數y=x²-x與直線y=1+k在所在范圍有兩個交點，所以原方程有兩個實根；
當1+k=-

1

4

，即k=-

5

4

，二次函數y=x²-x與直線y=1+k在所在范圍有一個交點，所以原方程有一個實根；
當1+k＜-

1

4

，即k＜-

5

4

，二次函數y=x²-x與直線y=1+k無交點，所以原方程無實根．

（2）當-1≤x≤1，方程變為x²+x=1-k，則方程解的個數就是二次函數y=x²+x與直線y=1-k的交點個數，
二次函數y=x²+x的頂點（-

1

2

，-

1

4

），且過（0，0），（-1，0）兩點．
當1-k＞0，即k＜1，二次函數y=x²+x與直線y=1-k在所在范圍無交點，所以原方程無實根；
當-

1

4

＜1-k≤0，即1≤k＜

5

4

，二次函數y=x²+x與直線y=1-k有兩個交點，所以原方程有兩個實根；
當1-k=-

1

4

，即k=

5

4

，二次函數y=x²+x與直線y=1-k有一個交點，所以原方程有一個實根；
當1-k＜-

1

4

，即k＞

5

4

，二次函數y=x²+x與直線y=1-k沒有交點，所以原方程無實根．
所以當k＜-

5

4

或-1＜k＜1或k＞

5

4

時，原方程沒有實數根；當k=-

5

4

或k=

5

4

時，原方程只有一個實數根；當-

5

4

＜k≤-1或1≤k＜

5

4

時，原方程有兩個實數根．

點評：本題考查了利用函數圖象求方程解的方法，把求方程的解的個數轉化為兩個圖象的交點的個數．同時也考查了分類討論的思想的運用．