Question

如圖，AB是半圓O的直徑，AB=10，過點A的直線交半圓于點C，且AC=6，連結BC，點D為BC的中點．已知點E在直線AC上，△CDE與△ACB相似，則線段AE的長為    ．

Answer 1

【答案】分析：根據E點在直線AC上，得出對應點不同求出的EC長度不同，分別得出即可．
解答：解：∵AB是半圓O的直徑，
∴∠ACB=90°，
∵AB=10，AC=6，
∴BC==8，
∵點D為BC的中點，
∴CD=4，
當DE∥AB時，
△CED∽△CAB，
∴=，
∴=，
解得：EC=3，
∴AE=6-EC=3，
當=，且∠ACB=∠DCE′時，△CE′D∽△CBA，
則=，
解得：CE′=，
∴AE′=6-=；
當=，且∠ACB=∠DCE₁時，△CE₁D∽△CBA，
則=，
解得：CE₁=，
∴AE₁=6+=；
當=，且∠ACB=∠DCE″時，△CE″D∽△CBA，
則=，
解得：CE″=3，
∴AE″=6+3=9；
綜上所述：點E在直線AC上，△CDE與△ACB相似，則線段AE的長為3或或9或．
故答案為：3或或9或．
點評：此題主要考查了相似三角形的判定與性質，注意在直線AC上有一點E，進行分類討論得出是解題關鍵．