Question

如圖，在△ABC中∠BAC=90°,AB=AC=2,圓A的半徑1，點O在BC邊上運動（與點B/C不重合），設BO=X,△AOC的面積是y.
⑴求y關于x的函數關系式及自變量的取值范圍；
⑵以點O位圓心，BO為半徑作圓O，求當○O與○A相切時，△AOC的面積.

Answer 1

（1）∵∠BAC=90°，AB="AC=2" ，
由勾股定理知BC==4，且∠B=∠C，
作AM⊥BC，
則∠BAM=45°，BM=CM=2=AM，
∵BO=x，則OC=4﹣x，
∴S_△AOC=OC•AM=×（4﹣x）×2=4﹣x，
即y=4﹣x （0＜x＜4）；
（2）①作AD⊥BC于點D，

∵△ABC為等腰直角三角形，BC=4，
∴AD為BC邊上的中線，
∴AD==2，
∴S_△AOC=，
∵BO=x，△AOC的面積為y，
∴y=4﹣x（0＜x＜4），
②過O點作OE⊥AB交AB于E，

∵⊙A的半徑為1，OB=x，
當兩圓外切時，
∴OA=1+x，
∵△ABC為等腰直角三角形，
∴∠B=45°，
∴BE=OE=，
∴在△AEO中，AO²=AE²+OE²=（AB﹣BE）²+OE²，
∴（1+x）²=（2﹣）²+（）²，
∴x=，
∵△AOC面積=y=4﹣x，
∴△AOC面積=；
當兩圓內切時，

∴OA=x﹣1，
∵AO²=AE²+OE²=（AB﹣BE）²+OE²，
∴（x﹣1）²=（2﹣）²+（）²，
∴x=，
∴△AOC面積=y=4﹣x=4﹣=，
∴△AOC面積為或．

（1）由∠BAC=90°，AB="AC=2" ，根據勾股定理即可求得BC，且∠B=∠C，然后作AM⊥BC，由S_△AOC=OC•AM，即可求得y關于x的函數解析式；
（2）由⊙O與⊙A外切或內切，即可求得ON的值，繼而求得△AOC的面積．