Question

（2008•廣東）將兩塊大小一樣含30°角的直角三角板，疊放在一起，使得它們的斜邊AB重合，直角邊不重合，已知AB=8，BC=AD=4，AC與BD相交于點E，連接CD．

（1）填空：如圖1，AC=______

Answer 1

【答案】分析：（1）根據勾股定理可得AC=BD==4；易知△ADC≌△BCD，利用四邊形內角和是360°可得∠CDB=∠DCA=30°∵∠CAB=30°∴DC∥AB，∵AD=BC∴四邊形ABCD是等腰梯形；
（2）圖中的三角形分為兩類：30°，30°，120°；30°，60°，90度．按此找相似三角形即可；
（3）過P作出△FBP的高．△FBP面積應等于FB×PK÷2，易得FB=AB-AF=8-k；則KB等于FB的一半，利用30°的正切值可求得FK的值．注意用t表示的線段應大于0．
解答：解：（1）4，4，等腰；

（2）共有9對相似三角形．
①△DCE、△ABE與△ACD或△BDC兩兩相似，
分別是：△DCE∽△ABE，△DCE∽△ACD，△DCE∽△BDC，△ABE∽△ACD，△ABE∽△BDC；（有5對）
②△ABD∽△EAD，△ABD∽△EBC；（有2對）
③△BAC∽△EAD，△BAC∽△EBC；（有2對）
所以，一共有9對相似三角形．

（3）由題意知，FP∥AE，
∴∠1=∠PFB，
又∵∠1=∠2=30°，
∴∠PFB=∠2=30°，
∴FP=BP
過點P作PK⊥FB于點K，則FK=BK=FB．
∵AF=t，AB=8，
∴FB=8-t，BK=（8-t）．
在Rt△BPK中，PK=BK•tan∠2=（8-t）tan30°=（8-t）．
∴△FBP的面積S=•FB•PK=（8-t）•（8-t），
∴S與t之間的函數關系式為：
S=（8-t）²，或S=t²-t+，
t的取值范圍為：0≤t＜8．
點評：“有效的數學學習過程不能單純地依賴模仿和記憶；有效的數學學習過程應引導學生主動地從事觀察、實驗、猜測、驗證、推理與交流等數學活動，從而使學生形成自己對數學知識的理解和有效的學習策略”．此題正是在常見的三角板的操作變形中，將幾何中的平移知識，代數中的函數知識有機地進行結合，要求學生抓住問題中的內在聯系進行探究．