Question

【題目】如圖，直線y＝﹣x+n交x軸于點A，交y軸于點C(0，4)，拋物線y＝x2+bx+c經過點A，交y軸于點B(0，﹣2)．點P為拋物線上一個動點，過點P作x軸的垂線PD，過點B作BD⊥PD于點D，連接PB，設點P的橫坐標為m．

(1)求拋物線的解析式；

(2)當△BDP為等腰直角三角形時，求線段PD的長．

Answer 1

【答案】(1)y＝x2﹣x﹣2；(2)PD＝．

【解析】

（1）由點C坐標，得直線方程為：y=-x+n=-x+4，從而求出點A坐標，把點A、B坐標代入二次函數表達式即可求解；
（2）設點P（m，m2-m-2），當△BDP為等腰直角三角形時，BD=PD，即可求解.

(1)由點C坐標，得直線方程為：y＝﹣x+n＝﹣x+4，

令y＝0，解得：x＝3，則點A(3，0)，

把點A、B坐標代入二次函數表達式，

解得：b＝﹣，c＝﹣2，

則函數表達式為：y＝x2﹣x﹣2；

(2)設點P(m，m2﹣m﹣2)，

點B(0，﹣2)，則點D(m，﹣2)，

當△BDP為等腰直角三角形時，BD＝PD，

即： m2﹣m﹣2﹣(﹣2)＝m，

解得：m＝，(m＝0舍去)，

PD＝BD＝m＝．