Question

如圖，AB是半圓O的直徑，四邊形CDEF是內接正方形．
（1）你認為點O在CF邊上什么位置，請說明你的理由；
（2）在正方形CDEF的右側有一正方形FGHK，點G在AB上，H在半圓上，K在EF上．已知正方形CDEF的面積為16，請你計算出正方形FGHK的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）可通過構建直角三角形，通過證明CO、OF所在直角三角形全等來得出O是CF中點的結論．
（2）由（1）可得出，EF、OF的值，在直角三角形OCH中，用小正方形的邊長表示出CH、OC，然后根據勾股定理，求出小正方形邊長的平方，這樣就求出其面積了．
解答：解：（1）點O是CF邊中點．
連接OD、OE，
則OD=OE，
又CD=FE，
∴Rt△DOC≌Rt△EOF，
∴OC=OF，即點O是CF的中點．

（2）連接OH，設正方形FGHK的邊長為x．
由已知及（1）可得EF=4，OF=2．
∴OE²=OF²+EF²=2²+4²=20．
又OH²=OG²+GH²，OE=OH，
∴20=（2+x）²+x²．
整理得x²+2x-8=0．
解得x₁=-4（不合題意，舍去），x₂=2．
所以正方形FGHK的面積是4．
點評：本題考查了全等三角形的判定，正方形的性質，一元二次方程的應用以及勾股定理等知識的綜合應用能力．