Question

如圖1，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，且AD=1，AB=BC=2，對角線AC和BD相交于點O．點E在AB上，點F在CB延長線上，連結EF，且BE=BF．
（1）連結AF，CE，則線段AF與CE的位置關系是

 

，數量關系是

 

；
（2）將圖1中的△EBF繞點B逆時針方向旋轉旋轉α角（0°＜α＜90°），連結AF、CE．試在圖2中畫出旋轉后的圖形，并判斷此時（1）中的兩個結論是否成立，寫出你的猜想并加以證明；
（3）將圖1中的△EBF繞點B逆時針旋轉，使到一邊BF落在線段BO上，此時△EBF的一邊EF與BC交于點M，連結AF、CE．試在圖3中畫出旋轉后的圖形，并解答下列問題：
①此時（1）中的兩個結論是否成立？（直接寫出你的猜想，不必證明．）
②已知OF=

5

6

，試求BM的長．

Answer 1

分析：（1）延長CE交AF于M，證△ABF≌△CBE，推出AF=CE，∠CEB=∠AFB，求出∠ECB+∠AFB=90°，根據三角形內角和定理求出∠CMF=90°即可；
（2）（1）中的兩個結論仍然成立，求出∠CBE=∠ABF，證△ABF≌△CBE．推出AF=CE，∠1=∠2，求出∠AMC=90°即可；
（3）①兩個結論仍然成立；②在Rt△DAB中，求出BD=

5

，證△AOD∽△COB，求出

OD

OB

=

1

2

，求出OB=

2

3

BD=

2

3

5

，BE=

5

2

，證△BME∽△BOA，得出

BM

OB

=

BE

BA

，即可求出BM．

解答：解：（1）AF⊥CE，AF=CE，
理由是：延長CE交AF于M，
∵∠ABC=90°，
∴∠ABF=90°，
在△ABF和△CBE中

AB=BC ∠ABF=∠EBC BF=BE

∴△ABF≌△CBE（SAS），
∴AF=CE，∠CEB=∠AFB，
∵∠EBC=90°，
∴∠ECB+∠CEB=90°，
∴∠ECB+∠AFB=90°，
∴∠CMF=180°-90°=90°，
∴AF⊥CE；，
故答案為：垂直，相等；

（2）猜想：（1）中的兩個結論仍然成立．
證明：∵∠ABC=∠EBF=90°，
∴∠ABC+∠ABE=∠EBF+∠ABE，
∴∠CBE=∠ABF，
在△ABF和△CBE中，

AB=BC ∠ABF=∠CBE BF=BE

∴△ABF≌△CBE（SAS）．
∴AF=CE，∠1=∠2，
∵∠1+∠3=90°，∠3=∠4，
∴∠3+∠4=90°，
∴∠AMC=90°，
∴AF⊥CE；

（3）①（1）中的兩個結論仍然成立；
②在Rt△DAB中，BD=

AB2+AD2

=

1+4

=

5

，
∵AD∥BC，
∴△AOD∽△COB．
∴

AD

BC

=

OD

OB

，
∵AD=1，BC=2，
∴

OD

OB

=

1

2

，
∴OB=

2

3

BD=

2

3

5

，
∵OF=

5

6

，
∴BE=BF=OB-OF=

5

2

，
∵∠1+∠FBM=90°，∠2+∠FBM=90°，
∴∠1=∠2，
又∵∠3=∠BAO=45°，
∴△BME∽△BOA，
∴

BM

OB

=

BE

BA

，
∴

BM

2 5 3

=

5 2

2

∴BM=

5

6

．

點評：本題考查了勾股定理，相似三角形的性質和判定，全等三角形的性質和判定，三角形內角和定理，等腰直角三角形的應用，主要考查學生綜合運用定理進行推理的 能力，題目比較典型，證明過程類似．