Question

已知二次函數y=x²+2（m+1）x-m+1．
（1）隨著m的變化，該二次函數圖象的頂點P是否都在某條拋物線上？如果是，請求出該拋物線的函數表達式；如果不是，請說明理由．
（2）如果直線y=x+1經過二次函數y=x²+2（m+1）x-m+1圖象的頂點P，求此時m的值．

Answer 1

解：（1）該二次函數圖象的頂點P是在某條拋物線上求該拋物線的函數表達式如下：
利用配方，得y=（x+m+1）²-m²-3m，頂點坐標是P（-m-1，-m²-3m）．
方法一：分別取m=0，-1，1，得到三個頂點坐標是P₁（-1，0）、P₂（0，2）、
P₃（-2，-4），過這三個頂點的二次函數的表達式是y=-x²+x+2．
將頂點坐標P（-m-1，-m²-3m）代入y=-x²+x+2的左右兩邊，左邊=-m²-3m，
右邊=-（-m-1）²+（-m-1）+2=-m²-3m，
∴左邊=右邊．即無論m取何值，頂點P都在拋物線y=-x²+x+2上．
即所求拋物線的函數表達式是y=-x²+x+2．
方法二：令-m-1=x，則m=-x-1，將其代入-m²-3m，得-（-x-1）²-3（-x-1）=-x²+x+2．
即所求拋物線的函數表達式是y=-x²+x+2上．

（2）如果頂點P（-m-1，-m²-3m）在直線y=x+1上，
則-m²-3m=-m-1+1，
即m²=-2m，
∴m=0或m=-2，
∴當直線y=x+1經過二次函數y=x²+2（m+1）x-m+1圖象的頂點P時，m的值是-2或0．
分析：（1）根據二次函數的函數表達式y=x²+2（m+1）x-m+1求得該函數的頂點坐標P（-m-1，-m²-3m），然后利用“待定系數法”求頂點坐標所在的函數圖象的函數表達式；
（2）因為直線y=x+1經過二次函數y=x²+2（m+1）x-m+1圖象的頂點P，所以頂點坐標P（-m-1，-m²-3m）也滿足直線方程y=x+1，故而，將其代入直線方程，求解即可．
點評：（1）解答本題的難點是求出頂點p的坐標；
（2）正確理會題意，“如果直線y=x+1經過二次函數y=x²+2（m+1）x-m+1圖象的頂點P”，旨在告訴我們：頂點坐標P（-m-1，-m²-3m）既滿足二次函數y=x²+2（m+1）x-m+1，又滿足直線y=x+1．