Question

如圖所示，四邊形ABCD是正方形，M是AB延長線上一點，直角三角尺的一條直角邊經過點D，且直角頂點E在AB邊上滑動（點E不與點A，B重合），另一直角邊與∠CBM的平分線BF相交于點F．
（1）如圖1所示，當點E在AB邊的中點位置時：
①通過測量DE，EF的長度，猜想DE與EF滿足的數量關系是

 

；
②連接點E與AD邊的中點N，猜想NE與BF滿足的數量關系是

 

；
③請證明你的上述兩個猜想；
（2）如圖2所示，當點E在AB邊上的任意位置時，請你在AD邊上找到一點N，使得NE=BF，進而猜想此時DE與EF有怎樣的數量關系．

Answer 1

分析：根據圖形可以得到DE=EF，NE=BF，要證明這兩個關系，只要證明△DNE≌△EBF即可．在第二個圖形中，只要驗證一下這個相等關系是否還成立就可以．

解答：解：（1）①DE=EF；
②NE=BF；
③∵四邊形ABCD為正方形，
∴AD=AB，∠DAB=∠ABC=90°，
∵N，E分別為AD，AB中點，
∴AN=DN=

1

2

AD，AE=EB=

1

2

AB，
∴DN=BE，AN=AE，
∵∠DEF=90°，
∴∠AED+∠FEB=90°，
又∵∠ADE+∠AED=90°，
∴∠FEB=∠ADE，
又∵AN=AE，
∴∠ANE=∠AEN，
又∵∠A=90°，
∴∠ANE=45°，
∴∠DNE=180°-∠ANE=135°，
又∵∠CBM=90°，BF平分∠CBM，
∴∠CBF=45°，∠EBF=135°，
在△DNE和△EBF中

∠ADE=∠FEB DN=EB ∠DNE=∠EBF

，
∴△DNE≌△EBF（ASA），
∴DE=EF，NE=BF．

（2）在DA上截取DN=EB（或截取AN=AE），
連接NE，則點N可使得NE=BF．
此時DE=EF．
證明方法同（1），證△DNE≌△EBF（ASA）．

點評：此題主要考查了正方形的性質以及全等三角形的判定與性質等知識，解決本題的關鍵就是求證△DNE≌△EBF．