Question

 

（本題12分）如圖，點O是等邊△ABC內一點，D是△ABC外的一點， ∠AOB= 110°，

∠BOC= ，△BOC ≌△ADC，∠OCD＝60°，連接OD。

（1）求證：△OCD是等邊三角形；

（2）當＝150°時，試判斷△AOD 的形狀，并說明理由；

（3）探究：當為多少度時，△AOD是等腰三角形。

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

（1）證明：∵△BOC≌△ADC ，

    ∴OC=DC 。——1分

    ∵∠OCD= ，

    ∴△OCD是等邊三角形。——1分

（2）解：△AOD是Rt△ 。  ——1分

    理由如下：

    ∵△OCD是等邊三角形 ，

    ∴∠ODC= ，

    ∵△BOC≌△ADC ，∠α= ，

    ∴∠ADC=∠BOC=∠α= ，

    ∴∠ADO=∠ADC－∠ODC=－= ，

     ∴△AOD是Rt△。——2分

（3）解：

    ∵△OCD是等邊三角形，

    ∴∠COD=∠ODC=。

    ∵∠AOB= ，∠ADC=∠BOC=α ，

    ∴∠AOD=－∠AOB－∠BOC－∠COD=－－α－=－α，

     ∠ADO=∠ADC－∠ODC=α－ ，

    ∴∠OAD=－∠AOD－∠ADO=－（－α）－（α－）= 。

    ①當∠AOD=∠ADO時，

    －α=α－ ，   ∴α= 。——2分

    ②當∠AOD=∠OAD時，

    －α= ，        ∴α= 。——2分

    ③當∠ADO=∠OAD時，

α－= ，         ∴α= 。——2分

綜上所述：當α=或或時，△AOD是等腰三角形。——1分

解析:略