Question

如圖，已知正方形ABCD邊長為10cm，點M從C到D以1cm/s的速度運動．將正方形ABCD折疊，使頂點A與點M重合，折痕交AD于E，交BC于F，邊AB折疊后與BC邊交于點G．設點M的運動時間為t（0＜t＜10），單位：s．
（1）求證：△DEM∽△CMG；
（2）當t=5s時，求△DEM的周長；
（3）當5＜t＜10時，求△CMG的周長．

Answer 1

分析：（1）根據折疊的性質知：∠EMG=∠A=90°，故∠DME+∠CMG=90°，又∠DME+∠DEM=90°，可得：∠DEM=∠CMG，又∠D=∠C=90°，可證：△DEM∽△CMG；
（2）當t=5時，可得：DM=CM=5，由折疊性質知：EM=EA，故△DEM的周長為DM+DE+EM=DM+DE+EA=DM+DA=15cm；
（3）CM=t，DM=10-t，在Rt△DEM中，根據勾股定理可將DE，EM的長求出，根據△DEM∽△CMG，可將CG，MG的長求出，將MC，CG，MG三者相加即為△CMG的周長．

解答：解：（1）根據折疊的性質知：∠EMG=∠A=90°
∴∠DME+∠CMG=90°
∵∠DME+∠DEM=90°
∴∠DEM=∠CMG
∵∠D=∠C=90°
∴△DEM∽△CMG．

（2）根據折疊的性質知：EM=EA，當t=5時，DM=CM=5
∴△DEM的周長為：DM+DE+EM=DM+DE+EA=DM+DA=15cm；

（3）依題意得：CM=t，DM=10-t，
設EM=EA=x，則DE=10-x
在Rt△DEM中，EM²=DE²+DM²，
即x²=（10-x）²+（10-t）²
解得：x=10-t+

t2

20

，DE=10-x=t-

t2

20

∵△DEM∽△CMG
∴

ME

DE

=

GM

CM

即

x

10-t

=

GM

t

，
解得：GM=

200-20t+t2

20-t

同理可得：CG=

200-20t

20-t

∴△CMG的周長為：CM+CG+MG=20cm．

點評：此題主要考查圖形的折疊問題，同時考查了相似三角形的判定．折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，根據軸對稱的性質，折疊前后圖形的形狀和大小不變，只是位置變化．