Question

（2005•長沙）已知拋物線y=ax²+bx-1經過點A（-1，0）、B（m，0）（m＞0），且與y軸交于點C．
（1）求a、b的值（用含m的式子表示）；
（2）如圖所示，⊙M過A、B、C三點，求陰影部分扇形的面積S（用含m的式子表示）；
（3）在x軸上方，若拋物線上存在點P，使得以A、B、P為頂點的三角形與△ABC相似，求m的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據所給的A、B的值，代入二次函數，可求出a、b的值，得到二次函數的表達式；
（2）由點的坐標可得到△AOC是等腰直角三角形，從而得到∠CMD=90°，再利用扇形面積公式可計算出面積；
（3）利用三角形的相似，得到比例線段求出m的值，需考慮到有兩種情況．
解答：解：（1）依題意得：，
解得：，
∴拋物線的解析式為：y=x²+x-1；

（2）∵x=0時，y=-1，
∴C（0，-1），
∵OA=OC，
∴∠OAC=45°，
∴∠BMC=2∠OAC=90°．
又∵，
∴；

（3）如圖，由拋物線的對稱性可知，若拋物線上存在點P，使得以A、B、P為頂點的三角形與△ABC相似，
則P關于對稱軸的對稱點P'也符合題意，即P、P'對應的m值相同．下面以點P在對稱軸右側進行分析：
情形一：若△ABC∽△APB，
∴∠PAB=∠BAC=45°，，
過P作PD⊥x軸垂足為D，連PA、PB．
在Rt△PDA中，∵∠PAB=∠BAC=45°，
∴PD=AD，
∴可令P（x，x+1），
若P在拋物線上，
則有x+1=x²+x-1．
即x²+（1-2m）x-2m=0，
解得x₁=-1，x₂=2m，
∴P₁（2m，2m+1），P₂（-1，0）顯然P₂不合題意，舍去．
此時AP=PD=（2m+1）；①
又由，得；②
由①、②有：（2m+1）=．
整理得：m²-2m-1=0，
解得：m=1±，
∵m＞0，
∴m=1+．
即若拋物線上存在點P，使得以A、B、P為頂點的三角形與△ABC相似，
則m=1+；（8分）

情形二：△ABC∽△PAB，
則∠PAB=∠ABC，，
同于情形一：∵∠PAB=∠ABC，
∴，
∴可令P（x，（x+1）），
若P在拋物線上，則有（x+1）=x²+x-1．
整理得：x²-mx-m-1=0，
解得：x₁=-1，x₂=m+1，
∴P（m+1，（m+2））或P（-1，0），
顯然P（-1，0）不合題意，舍去．
此時；①
又由得：；②
由①、②得：，
整理得m²=m²+1，顯然無解．（10分）
綜合情形一二得：若拋物線上存在點P，使得以A、B、P為頂點的三角形與△ABC相似，則m=1+．
點評：綜合考查了用待定系數法求二次函數的解析式，兩點之間的距離公式，圓心角等于圓周角的2倍．相似三角形的判定和性質，勾股定理等知識點，具有較強的綜合性．