Question

如圖，已知△ABC是邊長為4的等邊三角形，AB在軸上，點C在第一象限，AC與y軸交于點D，點A的坐標(biāo)為（-1，0）．
（1）求B、C、D三點的坐標(biāo)；
（2）拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過B、C、D三點，求它的解析式；
（3）過點D作DF∥AB交BC于E，若EF=，判斷點F是否在（2）中的拋物線上，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）理由等邊三角形的性質(zhì)可得B（3，0），C（1，2），D（0，）；
（2）設(shè)y=ax²+bx+c，然后把B（3，0），C（1，2），D（0，）代入解析式得到關(guān)于a，b，c的三元一次方程，解方程即可．
（3）由DF∥AB，而D點為AC的中點，得到DE為△ABC的中位線，得DE=2，則DF=，則F（，），然后把F點的坐標(biāo)代入（2）的解析式，滿足解析式說明F在（2）中的拋物線上．
解答：解：（1）∵∠A=60°，OA=1，OD=OA=，所以有D（0，）；
由△ABC是邊長為4的等邊三角形，所以C（1，2），B（3，0）．
所以B（3，0），C（1，2），D（0，）；

（2）設(shè)y=ax²+bx+c，
把B（3，0），C（1，2），D（0，）分別代入解析式得，
9a+3b+c=0①，
a+b+c=2②，
c=③，
解由①②③組成的方程組得，a=-，b=，c=，
所以拋物線的解析式為：y=-x²+x+．

（3）點F在（2）中的拋物線上．理由如下：
∵DF∥AB，而D點為AC的中點，
∴DE為△ABC的中位線，
∴DE=2，則DF=，
∴F（，）．
令x=，則y=-x²+x+=．
所以點F在（2）中的拋物線上．
點評：本題考查了用待定系數(shù)法確定二次函數(shù)的解析式．設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=ax²+bx+c，通過解方程組確定a，b，c的值．也考查了等邊三角形的性質(zhì)和中位線的性質(zhì)．