Question

若x₁，x₂是關于x的方程（x-2）（x-3）=p的兩個正實數根．
（1）求出p的取值范圍．
（2）如果x₁，x₂是直角三角形的兩直角邊的長，那么p取多少時，此時直角三角形的面積最大，最大面積為多少？

Answer 1

分析：（1）將原方程式化為一元二次方程的一般形式，然后根據根與系數的關系求解；
（2）根據題意，列出求直角三角形的面積代數式，然后利用（1）的p的取值范圍來確定此時直角三角形的最大面積．

解答：解：（1）由原方程，得
x²-5x+6-p=0，
∵x₁，x₂是關于x的方程（x-2）（x-3）=p的兩個正實數根，
∴x₁•x₂=6-p＞0，即p＜6①
△=25-4×（6-p）≥0，解得p≥-

1

4

②
由①②，得
-

1

4

≤p＜6；

（2）設直角三角形的面積是S．
∵x₁，x₂是直角三角形的兩直角邊的長，
∴S=

1

2

x₁•x₂
=

1

2

×（6-p）
當p取最小值-

1

4

時，S_最大=

1

2

×【6-(-

1

4

)】=

25

8

，即S_最大=

25

8

．

點評：本題主要考查了一元二次方程根的判別式及根與系數的關系．在解題時，注意題中的已知條件：x₁，x₂是兩個正實數根．