Question

（2002•寧夏）用兩種方法解答：
如圖，矩形ABCD外切于半圓，AD與半圓相切于F，BC是半圓的直徑，O為圓心，且BC=10cm，對角線AC交半圓于P，PE⊥BC于E．求P到BC的距離．

Answer 1

【答案】分析：解法（一）：連接OF，先利用勾股定理求出AC的長，再用切割線定理求出AP的長，根據相似三角形的性質解答即可；
解法（二）：連接BP，勾股定理求出AC的長，證明△CPB∽△CBA，相似三角形的性質PC的長，再證明△CPE∽△CAB，求出PE的長，即為所求．
解答：解：解法（一）：連接OF，
∵BC=10cm，
∴OF=OB=5cm，
在Rt△ABC中，AB=5cm，BC=10cm，
∴AC===5，
又∵AB、AC分別是⊙O的切線和割線，
∴AB²=AP•AC，即25=5AP，
解得，AP=，
∴PC=AC-AP=5-=4，
在Rt△ABC與Rt△PEC中，
∵∠PCE=∠PCE，
∴Rt△ABC∽Rt△PEC，
∴=，
∴PE===4cm；

解法（二）：連接OF、BP，
∵AD與半圓O相切于F，
∴OF⊥AD，
∵ABCD是矩形，
∴ABOF是矩形，
∴AB=OF=0.5BC=5cm，
∵BC是半圓⊙O的直徑，
∴∠BPC=90°，
∵PE⊥BC，
∴△PEB∽△CEP，
∴PE：EC=BE：PE，
設PE=xcm，
EC=ycm，
則x：y=（10-y）：x，
∴x²=y（10-y），
∴∠PCE=∠ACB，
∠ABC=∠PEC=90°，
∴△ABC∽△PEC，
∴PE：AB=EC：BC，
則x：5=y：10，
∴y=2x，
解得x₁=0（舍去），
x₂=4，
∴PE=4cm，
∴P到AB的距離是4c．
點評：本題綜合運用了勾股定理，相似三角形的判定和性質，注意做題時要認真仔細．