Question

如圖，△ABC中，D是BC邊上的一點，E是AD的中點，過點A作BC的平行線交BE的延長線于F，且AF=DC，連接CF．
（1）求證：D是BC的中點；
（2）如果AB=AC，試猜想四邊形ADCF的形狀，并證明你的結論；
（3）△ABC滿足什么條件時四邊形ADCF為正方形，并證明你的結論．

Answer 1

分析：（1）首先利用平行線的性質得出△AEF≌△DEB，進而得出D為BC的中點；
（2）利用等腰三角形的性質以及矩形的判定得出即可；
（3）當△ABC為等腰直角三角形時，利用正方形的判定得出四邊形ADCF為正方形即可．

解答：證明：
（1）∵AF=DC，AF∥BC，∴四邊形AFCD為平行四邊形，∴AF=CD
又∵E為AD的中點，AF∥BD，∴AE=DE，∠AFE=∠DBE，
在△AEF和△DEB中

∠AEF=∠BED ∠AFE=∠DBE AF=CD

∴△AEF≌△DEB（AAS），
∴BD=AF，∴BD=CD，
即D為BC的中點；

（2）四邊形ADCF為矩形；
理由：連接AB，
∵AB=AC，D為BC的中點，
∴AD⊥BC，∴∠ADC=90°
∴平行四邊形AFCD為矩形；

（3）當△ABC為等腰直角三角形時，四邊形ADCF為正方形；
理由：∵△ABC為等腰直角三角形，D為BC中點，
∴AD⊥BC，AD=

1

2

BC=BD=CD，
∴平行四邊形ADCF為矩形，
∴矩形ADCF為正方形．

點評：此題主要考查了矩形的判定和正方形的判定和全等三角形的判定等知識，熟練區分矩形與正方形是解題關鍵．