Question

如圖15，在Rt△ABC中，，CP平分∠ACB，CP與AB交于點D，且 PA=PB．

1.請你過點P分別向AC、BC作垂線，垂足分別為點E、F，并判斷四邊形PECF的形狀

2.求證：△PAB為等腰直角三角形

3.設，，試用、的代數式表示的周長；

4.試探索當邊AC、BC的長度變化時，的值是否發生變化，若不變，請直接寫出這個不變的值，若變化，試說明理由

 

Answer 1

【答案】

 

1.過點P分別作PE⊥AC、PF⊥CB，垂足分別為E、F（如圖4）     …………1分

∵∠ACB=90°又由作圖可知PE⊥AC、PF⊥CB，∴四邊形PECF是矩形，

又∵點P在∠ACB的角平分線上，且PE⊥AC、PF⊥CB，∴PE=PF，

∴四邊形PECF是正方形．                                 …………2分

2.證明：在Rt△AEP和Rt△BFP中，

∵PE=PF，PA=PB，∠AEP=∠BFP= 90°，

∴Rt△AEP≌Rt△BFP．

∴∠APE=∠BPF．

∵∠EPF= 90°，從而∠APB= 90°．

又因為PA=PB，

∴△PAB是等腰直角三角形．                …………5分

3.如圖4，在Rt△PAB中，∠APB=90°，PA=PB，PA=m，

∴AB=PA= ．                                        …………6分

     由（2）中的證明過程可知，Rt△AEP≌Rt△BFP，可得AE=BF，CE=CF，

∴ CA+CB=CE+EA+CB=CE+CF=2CE，又PC=n，

所以，在正方形PECF中，CE=PC=n．

∴ CA+CB=2CE=．

所以△ABC的周長為：AB+BC+CA=+

4.不變， ．                                   …………9分

【參考證明：如圖4，∵∠1=∠2=∠3=∠4=45°，且∠ADC=∠PDB，

∴△ADC∽△PDB，故，即 ， ……①

同理可得，△CDB∽△ADP，得到  ，    ……②

又PA=PB，則①+②得：===．

所以，這個值仍不變為．】

【解析】（1）有一組鄰邊相等的矩形是正方形；

       （2）利用三角形全等證得等腰直角三角形