Question

設邊長為2a的正方形的中心A在直線l上，它的一組對邊垂直于直線l，半徑為r的⊙O的圓心O在直線l上運動，點A、O間距離為d．
（1）如圖①，當r＜a時，根據d與a、r之間關系，將⊙O與正方形的公共點個數填入下

表：(6分)

d、a、r之間關系	公共點的個數
d＞a＋r
d＝a＋r
a－r＜d＜a＋r
d＝a－r
d＜a－r

所以，
當r＜a時，⊙O與正方形的公共點的個數可能有　　　　　　　　　個；
（2）如圖②，當r＝a時，根據d與a、r之間關系，將⊙O與正方形的公共點個數填入下表：(5分)

d、a、r之間關系	公共點的個數
d＞a＋r
d＝a＋r
a≤d＜a＋r
d＜a

所以，當r＝a時，⊙O與正方形的公共點個數可能有　　　　　個；
（3）如圖③，當⊙O與正方形有5個公共點時，試說明r＝a；(5分)

Answer 1

略解析:
（1）

d、a、r之間關系	公共點的個數
d＞a＋r	0
d＝a＋r	1
a－r＜d＜a＋r	2
d＝a－r	1
d＜a－r	0

 
……………………5分
所以，當r＜a時，⊙O與正方形的公共點的個數可能有0、1、2個；
（2）

d、a、r之間關系	公共點的個數
d＞a＋r	0
d＝a＋r	1
a≤d＜a＋r	2
d＜a	4

 
………………9分
所以，當r＝a，⊙O與正方形的公共點個數可能有0、1、2、4個；
（3）如圖所示，連結OC．
則OE＝OC＝r ，OF＝EF－OE＝2a－r．           ……10分

在Rt△OCF中，由勾股定理得：
OF2＋FC2＝OC2
即（2a－r）2＋a2＝r. 2 ……14分
4a2－4ar＋r2＋a2＝r2
5a2＝4ar
5a＝4r
∴r ＝a．                ………………13分