Question

已知．在Rt△OAB中，∠OAB=90°，∠BOA=30°，OA=，若以O為坐標原點，OA所在直線為x軸，建立如圖所示的平面直角坐標系，點B在第一象限內，將Rt△OAB沿OB折疊后，點A落在第一象限內的點C處．
（1）求經過點O，C，A三點的拋物線的解析式．
（2）求拋物線的對稱軸與線段OB交點D的坐標．
（3）線段OB與拋物線交與點E，點P為線段OE上一動點（點P不與點O，點E重合），過P點作y軸的平行線，交拋物線于點M，問：在線段OE上是否存在這樣的點P，使得PD=CM？若存在，請求出此時點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）在Rt△AOB中，根據AO的長和∠BOA的度數，可求得OB的長，根據折疊的性質即可得到OA=OC，且∠BOC=∠BOA=30°，過C作CD⊥x軸于D，即可根據∠COD的度數和OC的長求得CD、OD的值，從而求出點C、A的坐標，將A、C、O的坐標代入拋物線的解析式中，通過聯立方程組即可求出待定系數的值，從而確定該拋物線的解析式．
（2）求出直線BO的解析式，進而利用x=求出y的值，即可得出D點坐標；
（3）根據（1）所得拋物線的解析式可得到其頂點的坐標（即C點），設直線MP與x軸的交點為N，且PN=t，在Rt△OPN中，根據∠PON的度數，易得PN、ON的長，即可得到點P的坐標，然后根據點P的橫坐標和拋物線的解析式可求得M點的縱坐標，過M作MF⊥CD（即拋物線對稱軸）于F，過P作PQ⊥CD于Q，若PD=CM，那么CF=QD，根據C、M、P、D四點縱坐標，易求得CF、QD的長，聯立兩式即可求出此時t的值，從而求得點P的坐標．
解答：解：（1）過點C作CH⊥x軸，垂足為H；
∵在Rt△OAB中，∠OAB=90°，∠BOA=30°，OA=，
∴OB==4，AB=2；
由折疊的性質知：∠COB=30°，OC=AO=2，
∴∠COH=60°，OH=，CH=3；
∴C點坐標為（，3）．
∵O點坐標為：（0，0），
∴拋物線解析式為y=ax²+bx（a≠0），
∵圖象經過C（，3）、A（2，0）兩點，
∴，
解得；
∴此拋物線的函數關系式為：y=-x²+2x．

（2）∵AO=2，AB=2，
∴B點坐標為：（2，2），
∴設直線BO的解析式為：y=kx，
則2=2k，
解得：k=，
∴y=x，
∵y=-x²+2x的對稱軸為直線x=-=-=，
∴將兩函數聯立得出：y=×=1，
∴拋物線的對稱軸與線段OB交點D的坐標為：（，1）；

（3）存在．
∵y=-x²+2x的頂點坐標為（，3），
即為點C，MP⊥x軸，垂足為N，設PN=t；
∵∠BOA=30°，
∴ON=t，
∴P（t，t）；
作PQ⊥CD，垂足為Q，MF⊥CD，垂足為F；
把x=t代入y=-x²+2x，
得y=-3t²+6t，
∴M（t，-3t²+6t），F（，-3t²+6t），
同理：Q（，t），D（，1）；
要使PD=CM，只需CF=QD，
即3-（-3t²+6t）=|t-1|，
解得t=，t=1（舍），t=，
∴P點坐標為（，），或（，），
∴存在滿足條件的P點，使得PD=CM，此時P點坐標為（，）或（，）．
點評：此題主要考查了圖形的旋轉變化、解直角三角形、二次函數解析式的確定等重要知識點，表示出P點坐標利用CF=QD求出是解題關鍵．