Question

已知：把Rt△ABC和Rt△DEF按如圖（1）擺放（點C與點E重合），點B、C（E）、F在同一條直線上．∠ACB = ∠EDF = 90°，∠DEF = 45°，AC =" 8" cm，BC =" 6" cm，EF =" 9" cm。
如圖（2），△DEF從圖（1）的位置出發，以1 cm/s的速度沿CB向△ABC勻速移動，在△DEF移動的同時，點P從△ABC的頂點B出發，以2 cm/s的速度沿BA向點A勻速移動。當△DEF的頂點D移動到AC邊上時，△DEF停止移動，點P也隨之停止移。DE與AC相交于點Q，連接PQ，設移動時間為t（s）（0＜t＜4.5）。解答下列問題：
（1）當t為何值時，點A在線段PQ的垂直平分線上？
（2）連接PE，設四邊形APEC的面積為y（cm²），求y與t之間的函數關系式；是否存在某一時刻t，使面積y最小？若存在，求出y的最小值；若不存在，說明理由。
（3）是否存在某一時刻t，使P、Q、F三點在同一條直線上？若存在，求出此時t的值；若不存在，說明理由。（圖（3）供同學們做題使用）

Answer 1

(1)2；（2），當t=3時，y_最小=.（3）1s.

解析試題分析：（1）因為點A在線段PQ垂直平分線上，所以得到線段相等，可得CE=CQ，用含t的式子表示出這兩個線段即可得解；
（2）作PM⊥BC，將四邊形的面積表示為S_△ABC-S_△BPE即可求解；
（3）假設存在符合條件的t值，由相似三角形的性質即可求得．
（1）∵點A在線段PQ的垂直平分線上，
∴AP=AQ.
∵∠DEF=45°，∠ACB=90°，∠DEF＋∠ACB＋∠EQC=180°，
∴∠EQC=45°.
∴∠DEF=∠EQC.
∴CE=CQ．
由題意知：CE=t，BP=2t，           
∴CQ =t.
∴AQ=8－t.
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB="10cm" .
則AP=10－2t.
∴10－2t=8－t.
解得：t=2.
答：當t=2s時，點A在線段PQ的垂直平分線上.
（2）過P作PM⊥BE，交BE于M，

∴.
在Rt△ABC和Rt△BPM中，，
∴． 
∴PM=.
∵BC=6cm，CE=t， 
∴BE=6－t.
∴y = S_△ABC－S_△BPE =
=
=.
∵，
∴拋物線開口向上.
∴當t=3時，y_最小=.
答：當t=3s時，四邊形APEC的面積最小，最小面積為cm²．
（3）假設存在某一時刻t，使點P、Q、F三點在同一條直線上.
過P作PN⊥AC，交AC于N，
∴.
∵，
∴△PAN ∽△BAC.
∴.
∴.
∴，.
∵NQ=AQ－AN，
∴NQ=8－t－() =．
∵∠ACB=90°，B、C（E）、F在同一條直線上，
∴∠QCF=90°，∠QCF =∠PNQ.
∵∠FQC =∠PQN，
∴△QCF∽△QNP .
∴．
∴．
∵   
∴
解得：t=1.
答：當t=1s，點P、Q、F三點在同一條直線上．  
考點：1.二次函數的最值；2.線段垂直平分線的性質；3.勾股定理；4.相似三角形的判定與性質．