Question

如圖，已知二次函數y=ax²+bx+c的圖象經過三點A（-1，0），B（3，0），C（0，-3），它的頂點為M，且正比例函數y=kx的圖象與二次函數的圖象相交于D、E兩點．
（1）求該二次函數的解析式和頂點M的坐標；
（2）若點E的坐標是（2，-3），且二次函數的值小于正比例函數的值時，試根據函數圖象求出符合條件的自變量x的取值范圍；
（3）試探究：拋物線的對稱軸上是否存在點P，使△PAC為等腰三角形？如果存在，請直接寫出點P的坐標；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）設二次函數的解析式為y=a（x+1）（x-3），把（0，-3）代入即可求出a的值，即得到二次函數的解析式，把它化成頂點式即可求出頂點坐標；
（2）把E（2，-3）代入y=kx即可求出正比例函數的解析式，解由二次函數的解析式和正比例函數的解析式組成的方程組即可求出交點D的坐標，根據圖象即可求出答案；
（3）分PA=PC、PA=AC、PC=AC三種情況，設出P的坐標，根據勾股定理即可求出PA、PC、AC，進一步求出P的坐標寫上即可．
解答：解：（1）設二次函數的解析式為y=a（x+1）（x-3），
把（0，-3）代入得：a=1，
∴二次函數的解析式為y=（x+1）（x-3），
即：y=x²-2x-3，
配方得：y=（x-1）²-4，
∴頂點M的坐標是（1，-4），
答：該二次函數的解析式是y=x²-2x-3，頂點M的坐標是（1，-4）．

（2）解：把E（2，-3）代入y=kx得：，
∴正比例函數的解析式為，
∵把正比例函數與二次函數的解析式組成方程組，
-x=x²-2x-3，
即2x²-x-6=0，
（2x+3）（x-2）=0，
x₁=-，x₂=2，
當x₁=-時，y₁=-×（-）=，
當x₂=2時，y₂=-×2=-3，
∴，，
所以，E（2，-3），
由圖可知：當時，二次函數的值小于正比例函數的值，
答：根據函數圖象求出符合條件的自變量x的取值范圍是-＜x＜2．

（3）如圖，存在四個這樣的點P，
即：以A為圓心，AC為半徑畫弧，交直線x=1于，兩點，
以C為圓心，AC為半徑畫弧，交直線x=1于點P₃（1，0），
作線段AC的垂直平分線，交直線于點P₄（1，-2），
答：存在．點P的坐標是（1，）或（1，-）或（1，0）或（1，-2）．
點評：本題主要考查了用待定系數法求一次函數、二次函數的解析式，勾股定理，解二元一次方程組，等腰三角形的性質等知識點，求一次函數、二次函數的解析式和交點坐標是解此題的關鍵，此題題型較好，綜合性比較強．用的數學思想是分類討論的思想．