Question

如圖，△ABC中，∠ACB＝90º，AC＝BC＝1，將△ABC繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)角α。（0º＜α＜90º）得到△A₁B₁C₁，連結(jié)BB₁.設(shè)CB₁交AB于D，A₁B₁分別交AB、AC于E、F。

（1）在圖中不再添加其它任何線段的情況下，請你找出一對全等的三角形，并加以證明（△ABC與△A₁B₁C₁全等除外）；

（2）當△BB₁D是等腰三角形時，求α；

（3）當α＝60º時，求BD的長。

 

Answer 1

【答案】

解：（1）全等的三角形有：

等。（只需寫一個即可）

以證為例：

證明：

     

（2）在△CBB₁中，∵CB=CB₁，

又△ABC是等腰直角三角形，∴∠ABC=45°      

①若，則∠B₁DB=∠B₁BD，∵∠B₁DB=45°+α

（舍去）

②，即BD≠B₁D     

③若BB₁=BD，則，即  

由①②③可知，當△BB₁D為等腰三角形時，α=30°      

（3）作DG⊥BC于G，設(shè)CG=x

在Rt△CDG中，

在Rt△DGB中，

       

       

【解析】（1）依據(jù)全等三角形的判定，可找出全等的三角形有：△CBD≌△CA₁F或△AEF≌△B₁ED或△ACD≌△B₁CF等．由旋轉(zhuǎn)的意義可證∠A₁CF=∠BCD，A₁C=BC，∠A₁=∠CBD=45°，所以△CBD≌△CA₁F．

（2）當△BBD是等腰三角形時，要分別討論B₁B=B₁D、BB₁=BD、B₁D=DB三種情況，第一，三種情況不成立，只有第二種情況成立，求得α=30°．

（3）作DG⊥BC于G，在直角三角形CDG和直角三角形DGB中，由三角函數(shù)即可求得BD的長．