Question

如圖，在平面直角坐標系中，A，B兩點的坐標分別為A（-2，0），B（8，0），以AB為直徑的半圓與y軸交于點M，以AB為一邊作正方形ABCD．
（1）求C，M兩點的坐標；
（2）連接CM，試判斷直線CM是否與⊙P相切？說明你的理由；
（3）在x軸上是否存在一點Q，使得△QMC的周長最小？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）依題意推出AB=BC=CD=AD，連接PM，根據勾股定理求出OM的值后可求出點M的坐標；
（2）本題有多種方法解答．首先連接PC，CM，根據勾股定理先求出CM的值，然后證明△CMP≌△CPB即可證得∠CMP=∠CBP=90°；
（3）本題有幾種解法，符合題意即可，首先作M點關于x軸的對稱點M'，連接M'C，根據題意可知QM+QC的和最小，因為MC為定值，故△QMC的周長最小，證明△M'OQ∽△M'EC，利用線段比求出OQ的值．

解答：解：（1）∵A（-2，0），B（8，0），四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD=10，⊙P的半徑為5，（1分）
C（8，10），（2分）
連接PM，PM=5，在Rt△PMO中，OM=

PM2-PO2

=

52-32

=4
∴M（0，4）；（3分）

（2）方法一：直線CM是⊙P的切線．（4分）
證明：連接PC，CM，如圖（1），
在Rt△EMC中，CM=

CE2+EM2

=

82+62

=10（5分）
∴CM=CB
又∵PM=PB，CP=CP
∴△CPM≌△CPB（6）
∴∠CMP=∠CBP=90°
CM是⊙P的切線；（7分）

方法二：直線CM是⊙P的切線．（4分）
證明：連接PC，如圖（1），在Rt△PBC中，
PC²=PB²+BC²=5²+10²=125（5分）
在Rt△MEC中
∴CM²=CE²+ME²=8²+6²=100（6分）
∴PC²=CM²+PM²
∴△PMC是直角三角形，即∠PMC=90°
∴直線CM與⊙P相切．（7分）

方法三：直線CM是⊙P的切線．（4分）
證明：連接MB，PM如圖（2），
在Rt△EMC中，CM=

CE2+EM2

=

82+62

=10（5）
∴CM=CB
∴∠CBM=∠CMB（6）
∴PM=PB∴∠PBM=∠PMB
∴∠PMB+∠CMB=∠PBM+∠CBM=90°
即PM⊥MC
∴CM是⊙P的切線；（7分）

（3）方法一：作M點關于x軸的對稱點M'，則M′（0，-4），
連接M'C，與x軸交于點Q，此時QM+QC的和最小，
因為MC為定值，所以△QMC的周長最小，（8分）
∵△M'OQ∽△M′EC
∴

OQ

EC

=

M′O

M′E

，

OQ

8

=

4

14

，OQ=

16

7

（9分）
∴Q(

16

7

，0)；（10分）

方法二：作M點關于x軸的對稱點M′，則M′（0，-4），
連接M'C，與x軸交于點Q，此時QM+QC的和最小，
因為MC為定值，所以△QMC的周長最小，（8分）
設直線M'C的解析式為y=kx+b，
把M′（0，-4）和C（8，10）分別代入得

-4=0+b 10=8k+b

，
解得

k= 7 4 b=-4

∴y=

7

4

x-4，當y=0時，x=

16

7

（9分）
∴Q(

16

7

，0)．（10分）

點評：本題解答方法靈活多變．綜合考查的是軸對稱的有關知識，相似三角形的判定以及正方形的性質等，難度中上．