Question

如圖，已知AB是⊙O的直徑，直線l與⊙O相切于點C，

AC

=

AD

，CD交AB于E，BF⊥l，垂足

為F，BF交⊙O于G．
（1）圖中哪條線段與AE相等？試證明你的結論．
（2）若tan∠CBF=

1

2

，AE=3，求⊙O的直徑．

Answer 1

（1）AE=GF．
證明：連接AC、CG，
∵AB是直徑，
∴∠ACB=90°，
又∵BF⊥l，
∴∠ACB=∠CFB，
∵l是⊙O的切線，
∴∠FCB=∠A，
∴∠ABC=∠CBF，
∵

AC

=

AD

，AB是⊙O的直徑，
∴CD⊥AB，
又∵BF⊥l，∠ABC=∠CBF，
∴∠CEB=∠CFB=90°，
∴△CEB≌△CFB，
∴CE=CF，
由圓內接四邊形的性質可知∠A+∠CGB=180°，
又∠CGF+∠CGB=180°，
∴∠A=∠CGF，
∴△GFC≌△AEC，
∴AE=GF；

（2）∵∠CBF=∠CBA=∠FCG=∠ACE，tan∠CBF=

1

2

，
∴tan∠ACE=

1

2

，
又∵AE=3，
∴CE=6，
∵AB是⊙O的直徑，CD⊥AB，
∴CE²=AE?BE，
∴BE=12，
∴AB=15，
即⊙O的直徑為15．