Question

3、有n個數x₁，x₂，…，x_n，它們中的每一個數或者為1，或者為-1．如果x₁x₂+x₂x₃+…+x_n-1x_n+x_nx₁=0，求證：n是4的倍數．

Answer 1

分析：可以先證明n=2k為偶數，再證k也是偶數．即可證明n是4的倍數．

解答：解：證明：我們先證明n=2k為偶數，再證k也是偶數．
由于x₁，x₂，，x_n．的絕對值都是1，所以，x₁x₂，x₂x₃，…，x_nx₁的絕對值也都是1，即它們或者為+1，或者為-1．設其中有k個-1，由于總和為0，故+1也有k個，從而n=2k．
下面我們來考慮（x₁x₂）•（x₂x₃）…（x_nx₁）．一方面，有（x₁x₂）•（x₂x₃）…（x_nx₁）=（-1）^k，
另一方面，有（x₁x₂）•（x₂x₃）…（x_nx₁）=（x₁x₂x_n）₂=1．
所以（-1）k=1，故k是偶數，從而n是4的倍數．

點評：本題考查了奇偶性的問題．設其中有k個-1，k個+1是解題的關鍵．